Determine os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela de
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximo, mínimo local e pontos de sela da função
no intervalo
e
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o método de encontrar pontos críticos e analisar a curvatura da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico ocorre onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde essas derivadas parciais são iguais a zero:
Isso significa que ou
ou
, e simultaneamente
ou
.
Passo 4
Vamos resolver essas equações:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Combinando essas soluções, temos os seguintes pontos críticos:
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos, vamos determinar se cada um é um ponto de máximo, mínimo ou sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas:
Passo 6
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Dependendo do valor de
e de
:
- Se
e : máximo local. - Se
e : mínimo local. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo.
Passo 7
Vamos analisar cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 0):
-
, → Teste inconclusivo.
-
-
Pontos
e : -
, → Teste inconclusivo.
-
-
Pontos
e : -
, → Teste inconclusivo.
-
-
Pontos
, , , e : -
, e → Máximo local.
-
Resposta
Os pontos de máximo local de
são
,
,
e
. Não há pontos de mínimo local nem pontos de sela dentro do intervalo dado.
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.
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e
.
Existe um função
Seja a curva
parametrizada por
. Calcule o comprimento de
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
, para
, sen
,
é a parte do cone
que está entre os planos
e
, orientado na direção positiva de
.