Use o teorema de Stokes para calcular
, sendo
e
é a parte da esfera
que está acima do plano
e
tem orientação ascendente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de superfície de rot $ \vec{F} $ sobre a superfície $ S $, que é a parte da esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=5 $ acima do plano $ z=1 $ com orientação ascendente. Para isso, precisaremos entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes para converter a integral de superfície em uma integral de linha, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial $ \vec{F} $ sobre uma superfície $ S $ à integral de linha de $ \vec{F} $ ao longo da borda $ C $ de $ S $:
Nesse caso, em vez de calcular diretamente a integral de superfície, vamos calcular a integral de linha ao longo da curva $ C $, que é a interseção da esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=5 $ com o plano $ z=1 $.
Passo 3
Vamos encontrar a equação da curva $ C $. A interseção da esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=5 $ com o plano $ z=1 $ dá:
Então, $ C $ é um círculo de raio 2 no plano $ z=1 $.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a curva $ C $. Como é um círculo de raio 2 no plano $ z=1 $, podemos usar:
A derivada de $ \vec{r}(t) $ em relação a $ t $ é:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ \vec{F} $ na parametrização da curva $ C $:
Substituindo $ x = 2\cos t $, $ y = 2\sin t $, e $ z=1 $:
Passo 6
Vamos calcular a integral de linha $ \oint_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} $. Isso significa que precisamos calcular:
Fazendo o produto escalar:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão de $ t=0 $ a $ t=2\pi $:
Vamos integrar termo a termo.
Primeiro, $ \int_{0}^{2\pi} -16\cos^{2} t \sin^{2} t , dt $:
Usando a identidade $ \sin^{2} t \cos^{2} t = \frac{1}{4}\sin^{2}2t $, temos:
Segundo, $ \int_{0}^{2\pi} 4\sin t \cos t , dt $:
Usando a identidade $ \sin t \cos t = \frac{1}{2}\sin 2t $, temos:
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
Resposta
A integral de superfície $ \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d\vec{S} $ é igual a $ -4\pi $.