A entrada de um circuito é a tensão
e a saída é a tensão
A função de transferência do circuito é
Determine:
Coeficiente
;
Coeficiente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou envolve analisar um circuito elétrico onde temos uma tensão de entrada e uma tensão de saída. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor do coeficiente $ c_4 $ na expressão da tensão de saída. Para resolver isso, vamos usar conceitos de função de transferência em circuitos, que nos ajuda a entender como diferentes frequências são amplificadas ou atenuadas pelo circuito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as expressões que temos:
A tensão de entrada é:
E a tensão de saída é:
A função de transferência do circuito é:
Nosso foco é encontrar o valor de $ c_4 $, que está relacionado à frequência $ \omega_4 $ presente na tensão de saída.
Passo 3
Vamos focar na parte da tensão de entrada e saída que envolvem a frequência de $ 100t $. Na entrada, temos a componente $ 5 \cos\left(100t + 45^{\circ}\right) $. Na saída, a componente correspondente é $ c_4 \cos\left(\omega_4 t + \theta_4\right) $. Aqui, $ \omega_4 $ deve ser igual a $ 100 $ rad/s, já que é a mesma frequência.
Passo 4
Para encontrar $ c_4 $, precisamos aplicar a função de transferência $ H(\omega) $ na componente de entrada de $ 100 $ rad/s. A função de transferência nos diz como cada frequência é amplificada ou atenuada pelo circuito.
A amplitude da saída para uma frequência específica é dada por:
Onde $ |H(\omega)| $ é o módulo da função de transferência na frequência $ \omega $.
Passo 5
Primeiro, vamos determinar o valor de $ H_o $. Observando as componentes de tensão contínua (DC):
- Entrada DC: $ 2 $ V
- Saída DC: $ 5 $ V
A função de transferência para DC ($ \omega = 0 $) é:
Então, $ H_o = 2{,}5 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular $ |H(100)| $:
O módulo de $ H(\omega) $ é:
Substituindo $ \omega = 100 $ rad/s e $ H_o = 2{,}5 $:
Passo 7
Precisamos descobrir o valor de $ p $. Para isso, vamos utilizar outra componente conhecida. Olhando para a componente de $ 25t $:
- Entrada: $ 4 \cos(25t) $
- Saída: $ 7{,}071 \cos(25t - 45^{\circ}) $
Aplicando a mesma lógica:
Usando a fórmula do módulo:
Resolvendo para $ p $:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 8
Agora que sabemos que $ p = 25 $, podemos calcular $ |H(100)| $:
Passo 9
Finalmente, para encontrar $ c_4 $, multiplicamos $ |H(100)| $ pela amplitude da componente de entrada em $ 100t $, que é $ 5 $ V:
Resposta
O coeficiente $ c_4 $ é aproximadamente 3,03 V.