A entrada de um circuito é a tensão
v(t)=2+4 cos (25 t)+5 cos (100 t+45^circ) V
e a saída é a tensão
vo(t)=5+7,071 cos (25 t-45^circ)+c4 cos (omega4 t+theta4) V
A função de transferência do circuito é
H(omega)=Vo(omega)Vi(omega)=Ho1+j omegap
Determine:
Coeficiente c4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou envolve analisar um circuito elétrico onde temos uma tensão de entrada e uma tensão de saída. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor do coeficiente $ c_4 $ na expressão da tensão de saída. Para resolver isso, vamos usar conceitos de função de transferência em circuitos, que nos ajuda a entender como diferentes frequências são amplificadas ou atenuadas pelo circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as expressões que temos:
A tensão de entrada é:
v(t) = 2 + 4 cos(25t) + 5 cos(100t + 45^circ) , V
E a tensão de saída é:
vo(t) = 5 + 7,071 cos(25t - 45^circ) + c4 cos(omega4 t + theta4) , V
A função de transferência do circuito é:
H(omega) = Vo(omega)Vi(omega) = Ho1 + jomegap
Nosso foco é encontrar o valor de $ c_4 $, que está relacionado à frequência $ \omega_4 $ presente na tensão de saída.

Passo 3

Vamos focar na parte da tensão de entrada e saída que envolvem a frequência de $ 100t $. Na entrada, temos a componente $ 5 \cos\left(100t + 45^{\circ}\right) $. Na saída, a componente correspondente é $ c_4 \cos\left(\omega_4 t + \theta_4\right) $. Aqui, $ \omega_4 $ deve ser igual a $ 100 $ rad/s, já que é a mesma frequência.

Passo 4

Para encontrar $ c_4 $, precisamos aplicar a função de transferência $ H(\omega) $ na componente de entrada de $ 100 $ rad/s. A função de transferência nos diz como cada frequência é amplificada ou atenuada pelo circuito.
A amplitude da saída para uma frequência específica é dada por:
c4
Onde $ |H(\omega)| $ é o módulo da função de transferência na frequência $ \omega $.

Passo 5

Primeiro, vamos determinar o valor de $ H_o $. Observando as componentes de tensão contínua (DC):
  • Entrada DC: $ 2 $ V
  • Saída DC: $ 5 $ V
A função de transferência para DC ($ \omega = 0 $) é:
Ho
Então, $ H_o = 2{,}5 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular $ |H(100)| $:
|H(100)|
O módulo de $ H(\omega) $ é:
H(omega) = Ho1 + jomegap
Substituindo $ \omega = 100 $ rad/s e $ H_o = 2{,}5 $:
H(omega)

Passo 7

Precisamos descobrir o valor de $ p $. Para isso, vamos utilizar outra componente conhecida. Olhando para a componente de $ 25t $:
  • Entrada: $ 4 \cos(25t) $
  • Saída: $ 7{,}071 \cos(25t - 45^{\circ}) $
Aplicando a mesma lógica:
p
Usando a fórmula do módulo:
25t
Resolvendo para $ p $:
4 cos(25t)
Elevando ao quadrado ambos os lados:
7,071 cos(25t - 45^circ)
|H(25)| = 7,0714 = 1,76775
1,76775 = 2,5raiz1 + (25p)^2

Passo 8

Agora que sabemos que $ p = 25 $, podemos calcular $ |H(100)| $:
p = 25

Passo 9

Finalmente, para encontrar $ c_4 $, multiplicamos $ |H(100)| $ pela amplitude da componente de entrada em $ 100t $, que é $ 5 $ V:
c4

Resposta

O coeficiente $ c_4 $ é aproximadamente 3,03 V.

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