A entrada de um circuito é a tensão
v(t)=2+4 cos (25 t)+5 cos (100 t+45^circ) V
e a saída é a tensão
vo(t)=5+7,071 cos (25 t-45^circ)+c4 cos (omega4 t+theta4) V
A função de transferência do circuito é
H(omega)=Vo(omega)Vi(omega)=Ho1+j omegap
Determine:
Ângulo de fase theta4.

Passo 1

Resumo do Exercício e Conteúdo Envolvido
Vamos dar uma olhada no que o exercício nos pede. Temos um circuito com uma tensão de entrada e uma tensão de saída específicas:
  • Tensão de Entrada:
    v(t) = 2 + 4 cos(25 t) + 5 cos(100 t + 45^circ) , V
  • Tensão de Saída:
    vo(t) = 5 + 7,071 cos(25 t - 45^circ) + c4 cos(omega4 t + theta4) , V
Também nos foi dada a função de transferência do circuito:
H(omega) = Vo(omega)Vi(omega) = Ho1 + jomegap
Objetivo: Determinar o Ângulo de Fase theta4.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de circuitos AC, função de transferência, e como analisar amplitudes e fases de sinais senoidais.

Passo 2

Entendendo a Função de Transferência
A função de transferência H(omega) nos diz como cada componente de frequência na entrada é modificada na saída em termos de amplitude e fase. A forma dada é:
H(omega) = Ho1 + jomegap
Aqui:
  • Ho é o ganho de DC (tensão contínua).
  • p é uma constante que afeta como diferentes frequências são atenuadas ou faseadas.
Para cada componente de frequência omega, a função de transferência fornece um ganho complexo, que tem tanto magnitude quanto fase.

Passo 3

Determinar o Ganho de DC ( Ho)
Vamos primeiro analisar a parte contínua (DC) do sinal. Na entrada, a parte DC é 2 V, e na saída é 5 V.
Aplicando a função de transferência para DC ( omega = 0):
H(0) = Vo(0)Vi(0) = 52 = 2,5
Comparando com a função de transferência:
H(0) = Ho1 + jcdot 0 = Ho = 2,5
Portanto, Ho = 2,5.

Passo 4

Determinar a Constante p Usando a Componente de 25 rad/s
Vamos usar a componente de frequência omega = 25 , rad/s.
Na entrada, a amplitude é 4 V e na saída é 7,071 V com um ângulo de fase de -45°.
Primeiro, calculamos a função de transferência para omega = 25:
H(25) = Vo(25)Vi(25) = 7,0714 approx 1,7677 , ang<= -45^circ
Agora, expressamos H(25) usando a função de transferência:
H(25) = 2,51 + j25p
Para encontrar p, igualamos as magnitudes e os ângulos.
Magnitude:
|H(25)| = | 2,5raiz1 + (25p)^2 | = 1,7677
Resolvendo:
raiz1 + (25p)^2 = 2,51,7677 approx 1,4142
1 + (25p)^2 = 2
(25p)^2 = 1
25p = 1 Rightarrow p = 25 , rad/s
Ângulo:
phi = -arctan(25p) = -arctan(1) = -45^circ
Confirma que tudo está consistente com o que foi dado.

Passo 5

Determinar o Ângulo de Fase theta4 para omega = 100 , rad/s
Agora, vamos aplicar a função de transferência para a frequência omega = 100 , rad/s.
H(100) = 2,51 + j10025 = 2,51 + j4
Para encontrar o ângulo de fase theta4, calculamos a fase de H(100):
theta4 = arg(2,51 + j4) = arg(2,5) - arg(1 + j4)
Como 2,5 é real e positivo, arg(2,5) = 0.
Calculando arg(1 + j4):
arg(1 + j4) = arctan(41) approx 75^circ
Portanto:
theta4 = 0 - 75^circ = -75^circ

Resposta

O ângulo de fase theta4 é de aproximadamente -75^circ.

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