Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Caso o teste seja inconclusivo, então diga.
sumn=1^infty n(12)^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos usar o Teste da Razão para determinar se a série infinita sumn=1^infty n(12)^n converge ou diverge. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula do Teste da Razão e analisar o resultado.

Passo 2

O Teste da Razão nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A fórmula é:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an = n(12)^n.

Passo 3

Vamos calcular o quociente an+1an:
an+1an = (n+1)(12)^n+1n(12)^n = n+1n cdot 12

Passo 4

Simplificando o quociente:
n+1n cdot 12 = (1 + 1n) cdot 12

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (1 + 1n) cdot 12 = (1 + 0) cdot 12 = 12

Passo 6

Segundo o Teste da Razão:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, L = 12 < 1.

Resposta

A série sumn=1^infty n(12)^n converge.

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