Use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge. Caso o teste seja inconclusivo, então diga.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa usar o teste da raiz para descobrir se a série
converge ou diverge. O teste da raiz é uma técnica que ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas, especialmente aquelas com termos elevados a potências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o teste da raiz. A ideia é calcular o limite
onde
é o termo geral da série. Depois, com base em
, a gente tem três possibilidades:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
No nosso caso, o termo geral da série é
. Vamos aplicar o teste da raiz:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro do limite, temos:
Então, o limite fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular esse limite. À medida que
cresce para infinito,
também cresce sem limites. Ou seja:
Passo 6
Como
e isso é maior que 1, segundo o teste da raiz, a série diverge.
Resposta
A série
diverge pelo teste da raiz.