Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas, que são aquelas onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão elevada a uma potência. A gente vai verificar cada parte dessa série separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes:
e
. Isso facilita porque cada uma dessas é uma série geométrica pura.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma
converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1. E se ela converge, a soma dela é dada por
, onde
é o primeiro termo.
Passo 4
Vamos aplicar isso na primeira série:
. Aqui, a razão
é
, que é menor que 1. Então, essa série converge. Calculando a soma:
Primeiro termo, quando
:
.
Soma =
.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda série:
. A razão
aqui é
, também menor que 1. Então, essa série também converge. Calculando a soma:
Primeiro termo, quando
:
.
Soma =
.
Passo 6
Como as duas séries individuais convergem, a soma total delas também converge. Então, vamos somar as somas das duas séries:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é
.