Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^infty(14^n+13^n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série sumn=1^infty(14^n+13^n) converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas, que são aquelas onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão elevada a uma potência. A gente vai verificar cada parte dessa série separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes: sumn=1^infty14^n e sumn=1^infty13^n. Isso facilita porque cada uma dessas é uma série geométrica pura.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma sumn=0^infty ar^n converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1. E se ela converge, a soma dela é dada por a1 - r, onde a é o primeiro termo.

Passo 4

Vamos aplicar isso na primeira série: sumn=1^infty14^n. Aqui, a razão r é 14, que é menor que 1. Então, essa série converge. Calculando a soma:
Primeiro termo, quando n=1: a = 14.
Soma = a1 - r = 141 - 14 = 1434 = 13.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série: sumn=1^infty13^n. A razão r aqui é 13, também menor que 1. Então, essa série também converge. Calculando a soma:
Primeiro termo, quando n=1: a = 13.
Soma = a1 - r = 131 - 13 = 1323 = 12.

Passo 6

Como as duas séries individuais convergem, a soma total delas também converge. Então, vamos somar as somas das duas séries:
13 + 12 = 26 + 36 = 56.

Resposta

A série é convergente e a sua soma é 56.

Exercícios relacionados