Use testes de convergência para decidir sobre a convergência ou divergência das séries abaixo: sumn=1^infty n!(n+1)!(3 n)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar testes de convergência para descobrir se a série converge ou diverge. A matéria que estamos lidando é análise de séries infinitas, especificamente testes de convergência como o teste da razão, que é bem útil quando temos fatoriais e potências envolvidos. Então, vamos precisar aplicar o teste da razão para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da razão. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite . Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo. No nosso caso, vamos definir e aplicar o teste da razão.

Passo 3

Vamos calcular an+1 = (n+1)! cdot (n+2)!(3(n+1))! = (n+1)! cdot (n+2)!(3n+3)! :
an+1an = (n+1)! cdot (n+2)!(3n+3)! cdot (3n)!n!(n+1)! = (n+2)(3n+1)(3n+2)(3n+3)
Agora, vamos formar a razão an+1an = n+2(3n+1)(3n+2)(3n+3) :
Simplificando, cancelamos e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty n+2(3n+1)(3n+2)(3n+3) tende ao infinito:
L = limn to infty n27n^3 = limn to infty 127n^2 = 0
Para facilitar, observamos os termos de maior grau no numerador e denominador:

Passo 5

Como o limite é menor que 1, de acordo com o teste da razão, isso nos diz que a série converge.

Resposta

A série converge pela aplicação do teste da razão.

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