Calcule o valor da série sumn=1^infty 1+2^n3^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o valor da série infinita . Isso envolve conceitos de séries infinitas e progressões geométricas. Para resolver, vamos precisar separar a série em partes mais simples e aplicar fórmulas de somas de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração dentro da soma em duas partes distintas:
1 + 2^n3^n-1 = 13^n-1 + 2^n3^n-1
Assim, a série original se divide em duas séries:
sumn=1^infty 13^n-1 + sumn=1^infty 2^n3^n-1

Passo 3

Vamos simplificar cada uma dessas séries separadamente.
Primeira série:
sumn=1^infty 13^n-1 = sumn=1^infty 3^-(n-1) = sumn=1^infty 3^1 - n = 3 sumn=1^infty (13)^n
Isso é uma série geométrica com razão sumn=1^infty 2^n3^n-1 = sumn=1^infty 2^n cdot 3^-(n-1) = sumn=1^infty 2^n cdot 3^1 - n = 3 sumn=1^infty (23)^n e primeiro termo .
Segunda série:
Aqui, também temos uma série geométrica com razão e primeiro termo .

Passo 4

Agora, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
sumn=1^infty a cdot r^n-1 = a1 - r, onde |r| < 1
Aplicando à primeira série:
3 sumn=1^infty (13)^n = 3 ( 131 - 13 ) = 3 ( 1323 ) = 3 ( 12 ) = 32
Aplicando à segunda série:
3 sumn=1^infty (23)^n = 3 ( 231 - 23 ) = 3 ( 2313 ) = 3 cdot 2 = 6

Resposta

Somando as duas partes calculadas:
32 + 6 = 32 + 122 = 152 = 7,5
Portanto, o valor da série é 7,5.

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