Utilizando a definição, calcule a derivada de cada função: f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h
f(x)=raizx-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a definição de derivada. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar o limite na definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada:
f^prime(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Nossa função é , então vamos substituir na fórmula.

Passo 3

Substituindo na definição:
f^prime(x) = limh to 0 raiz(x + h) - 1 - raizx - 1h
Isso fica:
f^prime(x) = limh to 0 raizx + h - 1 - raizx - 1h

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
raizx + h - 1 - raizx - 1h times raizx + h - 1 + raizx - 1raizx + h - 1 + raizx - 1
Simplificando isso, temos:
(x + h - 1) - (x - 1)h ( raizx + h - 1 + raizx - 1 )

Passo 5

Agora, simplificamos o numerador:
(x + h - 1) - (x - 1) = x + h - 1 - x + 1 = h
Então, a expressão fica:
hh ( raizx + h - 1 + raizx - 1 ) = 1raizx + h - 1 + raizx - 1

Passo 6

Agora, vamos aplicar o limite f^prime(x) = limh to 0 1raizx + h - 1 + raizx - 1 = 1raizx - 1 + raizx - 1 = 12raizx - 1 :

Resposta

A derivada da função f^prime(x) = 12raizx - 1 é:

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Utilizando as regras de diferenciação, determine a derivada de cada função:
f(x) = ((x^2 + x + 1)(4 - x)) / (2x - 1)
Utilizando a definição, calcule a derivada de cada função: f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h
f(x)=x^2+2 x+3