Passo 1

Então, a gente precisa resolver a integral . Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas como a cosecante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função cosecante em termos de seno, já que é mais fácil trabalhar com funções básicas. Sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, para integrar essa função, vamos usar uma técnica chamada multiplicar e dividir por uma expressão conveniente que facilita a integração. Multiplicamos e dividimos por :

Passo 4

Simplificando a expressão, temos:
Ao simplificar o denominador, percebemos que:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, percebemos que o numerador é a derivada do denominador. Isso significa que podemos usar a regra da integral de uma função e sua derivada, resultando em um logaritmo natural:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral de é:

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