Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir:
r(t) = (3t, 4sen(t), 4cos(t)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva dada pela função vetorial . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que representa a velocidade da curva. Derivando cada componente de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que representa a aceleração da curva. Derivando novamente cada componente de :

Passo 4

Com e em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre eles, . O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como :

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial :

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a norma de , :

Passo 7

Finalmente, a fórmula para a curvatura é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A curvatura da curva é .

Exercícios relacionados

Considere a função dada por:
f(x, y)=cl (x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0). Analise a diferenciabilidade f em (0,0).
Defina curvatura de uma curva e disserte sobre duas formas de calcular a curvatura de uma curva dada.
Encontre a derivada. Simplifique quando possível. y = e^(cosh(3*x))
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
((n+3)/(n-1))^(n+3)