Considere a função dada por:
(a) Calcule
e
. Analise a diferenciabilidade
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função
definida de forma diferente para quando
é igual a
e para quando não é. O que precisamos fazer aqui é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
no ponto
e depois ver se a função é diferenciável nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A derivada parcial em
é definida como:
Vamos substituir os valores:
E sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, lembrando que o seno de qualquer número está sempre entre
e
, ou seja:
Multiplicando por
:
Como
tende a
, tanto
quanto
tendem a
. Pelo teorema do sanduíche (ou teorema do aperto), isso significa que:
Então:
Passo 4
De forma similar, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A definição é:
Substituindo os valores:
E
, então:
Passo 5
Assim como fizemos para a derivada em
, sabemos que:
Multiplicando por
:
Novamente, quando
tende a
, tanto
quanto
tendem a
. Aplicando o teorema do sanduíche:
Então:
Passo 6
Agora que calculamos as derivadas parciais em
e ambas são iguais a
, vamos analisar a diferenciabilidade da função nesse ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se ela puder ser bem aproximada por uma função linear nesse ponto. Para isso, precisamos verificar se:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Simplificando:
Assim como antes, sabemos que o seno está entre
e
, então:
Quando
tende a
,
tende a
. Pelo teorema do sanduíche:
Isso mostra que a função é diferenciável em
.
Resposta
As derivadas parciais de
em
são:
Além disso, a função
é diferenciável no ponto
.
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Defina curvatura de uma curva e disserte sobre duas formas de calcular a curvatura de uma curva dada.
Determine a derivada das seguintes funções vetoriais:
;
Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir:
.
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.