Considere a função dada por:
f(x, y)=cl (x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0). Analise a diferenciabilidade f em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função definida de forma diferente para quando é igual a e para quando não é. O que precisamos fazer aqui é calcular as derivadas parciais de em relação a e a no ponto e depois ver se a função é diferenciável nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a f(h, 0) = (h^2 + 0^2) cdot sen(1h^2 + 0^2) = h^2 cdot sen(1h^2) no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h^2 cdot sen(1h^2)h = limh to 0 h cdot sen(1h^2) . A derivada parcial em é definida como:
Vamos substituir os valores:
E sabemos que , então:

Passo 3

Agora, lembrando que o seno de qualquer número está sempre entre -1 <= sen(1h^2) <= 1 e - h <= h cdot sen(1h^2) <= h , ou seja:
Multiplicando por limh to 0 h cdot sen(1h^2) = 0 :
Como partial fpartial x(0,0) = 0 tende a , tanto quanto tendem a . Pelo teorema do sanduíche (ou teorema do aperto), isso significa que:
Então:

Passo 4

De forma similar, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k em relação a f(0, k) = (0^2 + k^2) cdot sen(10^2 + k^2) = k^2 cdot sen(1k^2) no ponto partial fpartial y(0,0) = limk to 0 k^2 cdot sen(1k^2)k = limk to 0 k cdot sen(1k^2) . A definição é:
Substituindo os valores:
E , então:

Passo 5

Assim como fizemos para a derivada em -1 <= sen(1k^2) <= 1 , sabemos que:
Multiplicando por - k <= k cdot sen(1k^2) <= k :
Novamente, quando limk to 0 k cdot sen(1k^2) = 0 tende a partial fpartial y(0,0) = 0 , tanto quanto tendem a . Aplicando o teorema do sanduíche:
Então:

Passo 6

Agora que calculamos as derivadas parciais em lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - partial fpartial x(0,0)h - partial fpartial y(0,0)kraizh^2 + k^2 = 0 e ambas são iguais a lim(h,k) to (0,0) f(h,k)raizh^2 + k^2 = lim(h,k) to (0,0) (h^2 + k^2) cdot sen(1h^2 + k^2)raizh^2 + k^2 , vamos analisar a diferenciabilidade da função nesse ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se ela puder ser bem aproximada por uma função linear nesse ponto. Para isso, precisamos verificar se:
lim(h,k) to (0,0) raizh^2 + k^2 cdot sen(1h^2 + k^2)
Substituindo os valores que já conhecemos:
Simplificando:
Assim como antes, sabemos que o seno está entre - raizh^2 + k^2 <= raizh^2 + k^2 cdot sen(1h^2 + k^2) <= raizh^2 + k^2 e lim(h,k) to (0,0) raizh^2 + k^2 cdot sen(1h^2 + k^2) = 0 , então:
Quando tende a , tende a . Pelo teorema do sanduíche:
Isso mostra que a função é diferenciável em .

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x(0,0) = 0 e partial fpartial y(0,0) = 0 em são:
Além disso, a função é diferenciável no ponto .

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Defina curvatura de uma curva e disserte sobre duas formas de calcular a curvatura de uma curva dada.
Determine a derivada das seguintes funções vetoriais:
r(t) = (tg(t), sec(t), 1/t^2);
Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir:
r(t) = (3t, 4sen(t), 4cos(t)).
Encontre a derivada. Simplifique quando possível. y = e^(cosh(3*x))