b) Utilizando a função de onda phi1(x) normalizada, calcule o valor esperado da energia total, ou seja, calcule:
lang<=Hrang<=1=integral0^L phi1 H phi1 d x onde H=-hbar^22 m d^2d x^2
Compare seu resultado ao valor exato da energia do estado fundamental, para isso calcule lang<=Hrang<=1-E1E1 times 100 %.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de onda normalizada chamada phi1(x) e queremos calcular o valor esperado da energia total desse estado. Para isso, vamos usar a fórmula:
lang<=Hrang<=1 = integral0^L phi1(x) , H , phi1(x) , dx
Aqui, H é o operador Hamiltoniano, que representa a energia total do sistema. No nosso caso, ele é dado por:
H = -hbar^22 m d^2d x^2
Então, vamos precisar conhecer a função de onda phi1(x), realizar a derivada segunda dela, multiplicar pela função original e integrar de 0 até L. Além disso, vamos comparar o resultado obtido com o valor exato da energia do estado fundamental E1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma da função de onda normalizada para o estado fundamental em uma caixa de potencial infinito de largura L. A função é:
phi1(x) = raiz2L sin(pi xL)
Essa função está normalizada, ou seja, a probabilidade total de encontrar a partícula entre 0 e L é 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador Hamiltoniano H na função phi1(x). Isso envolve calcular a segunda derivada de phi1(x) em relação a x.
Primeiro, encontramos a primeira derivada:
ddx phi1(x) = raiz2L cdot piL cos(pi xL)
Depois, a segunda derivada:
d^2dx^2 phi1(x) = -raiz2L cdot (piL)^2 sin(pi xL) = -(piL)^2 phi1(x)

Passo 4

Substituindo a segunda derivada na expressão do operador Hamiltoniano:
H phi1(x) = -hbar^22 m d^2dx^2 phi1(x) = -hbar^22 m ( -(piL)^2 phi1(x) ) = hbar^2 pi^22 m L^2 phi1(x)

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor esperado da energia total:
lang<=Hrang<=1 = integral0^L phi1(x) cdot H cdot phi1(x) , dx = integral0^L phi1(x) cdot ( hbar^2 pi^22 m L^2 phi1(x) ) dx = hbar^2 pi^22 m L^2 integral0^L phi1^2(x) , dx
Como a função de onda está normalizada, sabemos que:
integral0^L phi1^2(x) , dx = 1
Portanto:
lang<=Hrang<=1 = hbar^2 pi^22 m L^2

Passo 6

Agora, vamos comparar esse resultado com o valor exato da energia do estado fundamental E1. Na verdade, eles são iguais, já que a energia esperada para o estado fundamental em uma caixa de potencial infinito é exatamente:
E1 = hbar^2 pi^22 m L^2

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a porcentagem de diferença entre o valor esperado da energia e o valor exato:
lang<=Hrang<=1 - E1E1 times 100% = E1 - E1E1 times 100% = 0%

Resposta

A diferença percentual entre o valor esperado da energia total e o valor exato da energia do estado fundamental é 0%.

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