+1 / 2 / 59+
Q. 2 (10 pontos) O ion de H2^+é composto por dois prótons de carga e e um elétron de carga - epsilon e massa me. A separação entre os prótons é de / e tanto os prótons quanto o elétron podem ser tratados como cargas pontuais. Os prótons entảo localizados nas coordenadas (0,1 / 2) e (0,-1 / 2) do plano xy .
a) (3 pontos) Deternine o campo elétrico em um ponto (d.0) do eixo x, iudicando módulo, direçâo e sentido. Faça um desenho e indique todas as quantidades necessárias. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um íon H2^+, que é tipo uma molécula de hidrogênio com dois prótons e um elétron. A separação entre os prótons é a (imagino que seja a distância entre eles), e eles estão posicionados nas coordenadas (0, a2) e (0, -a2) no plano xy. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico em um ponto específico no eixo x devido a esses prótons e ao elétron. Para isso, vamos usar as leis do eletromagnetismo, especialmente a fórmula do campo elétrico produzido por cargas pontuais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as cargas e suas posições:
  • Próton 1: carga +e, posição (0, a2)
  • Próton 2: carga +e, posição (0, -a2)
  • Elétron: carga -e, posição (x, 0) (o ponto onde queremos calcular o campo)

Passo 3

O campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
E = k cdot Qr^2 cdot r
onde:
  • k é a constante eletrostática ( 8,99 times 10^9 , N·m²/C²²²)
  • Q é a carga
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo
  • r é o vetor unitário na direção de r

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico devido a cada próton e ao elétron no ponto (x, 0).
Para os prótons:
  • A distância de cada próton ao ponto no eixo x é: r = raizx^2 + (a2)^2
  • A direção do campo elétrico será diretamente da carga para o ponto se a carga for positiva (já que cargas positivas emitem campos), então as componentes y dos campos dos prótons vão se cancelar por serem simétricas, e só teremos a componente x somando.
Para o elétron:
  • A distância é simplesmente |x|
  • A carga é negativa, então o campo elétrico vai na direção oposta ao vetor que liga o elétron ao ponto, ou seja, na direção positiva do eixo x se x for positivo.

Passo 5

Calculando as componentes:
Campo elétrico dos prótons:
  • Cada próton contribui com uma componente no eixo x: Eprot = k cdot e cdot x(x^2 + (a2)^2)^3/2
Como temos dois prótons, somamos as contribuições:
  • Eprot total = 2 cdot k cdot e cdot x(x^2 + (a2)^2)^3/2
Campo elétrico do elétron:
  • Eelétron = k cdot (-e)x^2é

Passo 6

Somando todos os campos elétricos no eixo x:
Etotal = Eprot total + Eelétron = 2 cdot k cdot e cdot x(x^2 + (a2)^2)^3/2 - k cdot ex^2 é

Resposta

O campo elétrico no ponto (x, 0) no eixo x é dado por:
Etotal = 2k e x(x^2 + (a2)^2)^3/2 - k ex^2
Esse campo aponta na direção positiva ou negativa do eixo x dependendo dos valores de x e a, e seu módulo pode ser calculado substituindo os valores conhecidos na fórmula acima.

Exercícios relacionados

i) Mostre que as energias que são soluções da equação do item h) são dadas por:
E pm=lang<=Hrang<=1+lang<=Hrang<=2-2 beta S pm raiz(lang<=Hrang<=1+lang<=Hrang<=2-2 beta S)^2-4(1-S^2)(lang<=Hrang<=1lang<=Hrang<=2-beta^2)2(1-S^2)
a) Tomemos a função de onda quadrática phi1(x)=A x(L-x). Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização A. Dica: integre apenas dentro da região de interesse 0 <= x <= L.
c) (2 pontos) Se o elétron estiver alinhado com os prótons em ( 0,0 ), qual a energia potencial elétrica do sistema prótons-elétron? Assuma que a energia potencial elétrica é zero no infinito.
b) Utilizando a função de onda phi1(x) normalizada, calcule o valor esperado da energia total, ou seja, calcule:
lang<=Hrang<=1=integral0^L phi1 H phi1 d x onde H=-hbar^22 m d^2d x^2
Compare seu resultado ao valor exato da energia do estado fundamental, para isso calcule lang<=Hrang<=1-E1E1 times 100 %.