Q. 2 (10 pontos) O ion de
é composto por dois prótons de carga e e um elétron de carga -
e massa
. A separação entre os prótons é de
e tanto os prótons quanto o elétron podem ser tratados como cargas pontuais. Os prótons entảo localizados nas coordenadas
e
do plano xy .
a) (3 pontos) Deternine o campo elétrico em um ponto (d.0) do eixo
, iudicando módulo, direçâo e sentido. Faça um desenho e indique todas as quantidades necessárias. Justifique sua resposta.
Q. 2 (10 pontos) O ion de
a) (3 pontos) Deternine o campo elétrico em um ponto (d.0) do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um íon
, que é tipo uma molécula de hidrogênio com dois prótons e um elétron. A separação entre os prótons é
(imagino que seja a distância entre eles), e eles estão posicionados nas coordenadas
e
no plano xy. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico em um ponto específico no eixo x devido a esses prótons e ao elétron. Para isso, vamos usar as leis do eletromagnetismo, especialmente a fórmula do campo elétrico produzido por cargas pontuais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as cargas e suas posições:
- Próton 1: carga
, posição - Próton 2: carga
, posição - Elétron: carga
, posição (o ponto onde queremos calcular o campo)
Passo 3
O campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ) -
é a carga -
é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo -
é o vetor unitário na direção de
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico devido a cada próton e ao elétron no ponto
.
Para os prótons:
- A distância de cada próton ao ponto no eixo x é:
- A direção do campo elétrico será diretamente da carga para o ponto se a carga for positiva (já que cargas positivas emitem campos), então as componentes y dos campos dos prótons vão se cancelar por serem simétricas, e só teremos a componente x somando.
Para o elétron:
- A distância é simplesmente
- A carga é negativa, então o campo elétrico vai na direção oposta ao vetor que liga o elétron ao ponto, ou seja, na direção positiva do eixo x se
for positivo.
Passo 5
Calculando as componentes:
Campo elétrico dos prótons:
- Cada próton contribui com uma componente no eixo x:
Como temos dois prótons, somamos as contribuições:
Campo elétrico do elétron:
Passo 6
Somando todos os campos elétricos no eixo x:
Resposta
O campo elétrico no ponto
no eixo x é dado por:
Esse campo aponta na direção positiva ou negativa do eixo x dependendo dos valores de
e
, e seu módulo pode ser calculado substituindo os valores conhecidos na fórmula acima.
Exercícios relacionados
i) Mostre que as energias que são soluções da equação do item h) são dadas por:
a) Tomemos a função de onda quadrática
. Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização
. Dica: integre apenas dentro da região de interesse
.
c) (2 pontos) Se o elétron estiver alinhado com os prótons em ( 0,0 ), qual a energia potencial elétrica do sistema prótons-elétron? Assuma que a energia potencial elétrica é zero no infinito.
b) Utilizando a função de onda
normalizada, calcule o valor esperado da energia total, ou seja, calcule:
Compare seu resultado ao valor exato da energia do estado fundamental, para isso calcule
.