Utilizando a lei de Fourier, mostre que a taxa de transferência de calor por condução através do isolamento pode ser representada por qr=4 pi k(Ts, 1-Ts, 2)(1 / r1)-(1 / r2). Fazendo um balanço de energia em
uma superfície de controle envolvendo o recipiente, obtenha uma expressão alternativa para qr, expressando o seu resultado em termos de dotq e r1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos a Lei de Fourier para mostrar como a taxa de transferência de calor por condução através do isolamento pode ser representada pela fórmula dada. Depois, precisamos fazer um balanço de energia em uma superfície de controle para encontrar uma expressão alternativa para em termos de e .
Conteúdo da matéria: Condução de calor, Lei de Fourier, balanço de energia.
O que vamos precisar: Conhecimento básico da Lei de Fourier, entender o que é uma superfície de controle e como aplicar o balanço de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que a taxa de transferência de calor q = -k A dTdx através de um material é proporcional à área , à condutividade térmica , e à diferença de temperatura , e inversamente proporcional à espessura . A fórmula é:
Aqui, é o gradiente de temperatura.

Passo 3

No caso da condução através de um isolamento esférico, imaginamos duas superfícies esféricas concêntricas com raios A1 = 4pi r1^2 e A2 = 4pi r2^2 e . A área de uma esfera é , então a área para cada raio será:
A diferença de temperatura entre as duas superfícies é .

Passo 4

Aplicando a Lei de Fourier para condução esférica, a taxa de transferência de calor qr = 4 pi k (Ts,1 - Ts,2)(1r1) - (1r2) pode ser expressa considerando a diferença de temperatura e os raios das esferas:
Essa é a expressão que a questão quer que a gente mostre. Basicamente, adaptamos a Lei de Fourier para a geometria esférica.

Passo 5

Agora, vamos fazer um balanço de energia em uma superfície de controle envolvendo o recipiente. O balanço de energia nos diz que a energia que entra menos a energia que sai é igual à taxa de acumulação de energia no sistema. Se considerarmos um estado estacionário (onde não há acumulação), temos:
qr = dotq
Aqui, representa a taxa de transferência de calor. Queremos expressar em termos de e .

Resposta

Após o balanço de energia, a taxa de transferência de calor por condução através do isolamento pode ser expressa como:
qr = dotqr1

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