Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento tridimensional incompressível? u=x+y+z^2; v=x-y+z ; w=2 x y+y^2+4 ;

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem um exercício sobre escoamento tridimensional incompressível. Basicamente, queremos saber se o conjunto de equações dadas para as componentes da velocidade (u, v, w) representa um fluxo onde o líquido ou gás não está comprimindo ou expandindo, ou seja, a densidade permanece constante. Para resolver isso, vamos precisar calcular a divergência do campo de velocidade e verificar se ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as componentes da velocidade:
u = x + y + z^2
v = x - y + z
w = 2xy + y^2 + 4

Passo 3

Agora, para verificar se o fluxo é incompressível, precisamos calcular a divergência do vetor velocidade nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z . A divergência em três dimensões é dada por:

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada de u em relação a x:
partial upartial x = partialpartial x(x + y + z^2) = 1 + 0 + 0 = 1
  1. Derivada de v em relação a y:
partial vpartial y = partialpartial y(x - y + z) = 0 - 1 + 0 = -1
  1. Derivada de w em relação a z:
partial wpartial z = partialpartial z(2xy + y^2 + 4) = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 5

Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:
nabla cdot V = 1 + (-1) + 0 = 0

Resposta

Como a divergência é igual a zero, o conjunto de equações representa um escoamento tridimensional incompressível.

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