Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento tridimensional incompressível?
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Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem um exercício sobre escoamento tridimensional incompressível. Basicamente, queremos saber se o conjunto de equações dadas para as componentes da velocidade (u, v, w) representa um fluxo onde o líquido ou gás não está comprimindo ou expandindo, ou seja, a densidade permanece constante. Para resolver isso, vamos precisar calcular a divergência do campo de velocidade e verificar se ela é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as componentes da velocidade:
Passo 3
Agora, para verificar se o fluxo é incompressível, precisamos calcular a divergência do vetor velocidade
. A divergência em três dimensões é dada por:
Passo 4
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
- Derivada de u em relação a x:
- Derivada de v em relação a y:
- Derivada de w em relação a z:
Passo 5
Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:
Resposta
Como a divergência é igual a zero, o conjunto de equações representa um escoamento tridimensional incompressível.