Demonstre que a distribuição de temperaturas em uma esfera de raio r0, constituída de material homogêneo no qual a energia liberada a uma taxa uniforme por volume unitário qg é
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre distribuição de temperaturas dentro de uma esfera. O problema nos pede para demonstrar que a temperatura em qualquer ponto a uma distância
do centro da esfera é dada por:
Para isso, vamos precisar conhecer a equação do calor em regime permanente com geração interna de calor e aplicar condições de simetria apropriadas para uma esfera homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação do calor em regime estacionário com geração de calor interno. Em coordenadas esféricas, assumindo simetria radial (ou seja, a temperatura depende apenas de
), a equação fica:
Aqui,
é a temperatura,
é a posição radial,
é a taxa de geração de calor por unidade de volume, e
é a condutividade térmica do material.
Passo 3
Vamos simplificar a equação. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 4
Integramos a equação em relação a
. A primeira integral será:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolvemos para
:
Passo 6
Integramos novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Aqui,
é a temperatura na superfície da esfera (
), ajustando as constantes de integração conforme as condições de contorno.
Resposta
A distribuição de temperaturas na esfera é dada por: