Demonstre que a distribuição de temperaturas em uma esfera de raio r0, constituída de material homogêneo no qual a energia liberada a uma taxa uniforme por volume unitário qg é
T(r)=T0+qg r0^26 k[1-(rr0)^2]

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre distribuição de temperaturas dentro de uma esfera. O problema nos pede para demonstrar que a temperatura em qualquer ponto a uma distância T(r)=T0+qg r0^26 k[1-(rr0)^2] do centro da esfera é dada por:
Para isso, vamos precisar conhecer a equação do calor em regime permanente com geração interna de calor e aplicar condições de simetria apropriadas para uma esfera homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação do calor em regime estacionário com geração de calor interno. Em coordenadas esféricas, assumindo simetria radial (ou seja, a temperatura depende apenas de 1r^2ddr(r^2 dTdr) + qgk = 0 ), a equação fica:
Aqui, é a temperatura, é a posição radial, é a taxa de geração de calor por unidade de volume, e é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Vamos simplificar a equação. Multiplicamos ambos os lados por ddr(r^2 dTdr) + qgk r^2 = 0 para eliminar o denominador:

Passo 4

Integramos a equação em relação a r^2 dTdr = -qgk r^33 + C1 . A primeira integral será:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Resolvemos para dTdr = -qg r3k + C1r^2 :

Passo 6

Integramos novamente para encontrar T(r) = -qg r^26k + C1-r + C2 :
Onde é outra constante de integração.

Passo 7

Simplificamos a expressão:
T(r) = T0 + qg r0^26k[1 - (rr0)^2]
Aqui, é a temperatura na superfície da esfera ( ), ajustando as constantes de integração conforme as condições de contorno.

Resposta

A distribuição de temperaturas na esfera é dada por:
T(r)=T0+qg r0^26 k[1-(rr0)^2]

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