(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em todo o espaço. Isso faz parte da matéria de Eletrostática, que estuda as cargas elétricas em repouso e os campos que elas criam. Para resolver isso, a gente vai precisar entender a Lei de Gauss, simetrias do problema e como aplicar essas ideias para encontrar o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que a quantidade total de fluxo elétrico passando por uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ):
í
Isso significa que, se a gente escolher uma superfície apropriada, podemos simplificar bastante os cálculos do campo elétrico .

Passo 3

Agora, vamos considerar que temos uma carga pontual localizada na origem. Essa é uma situação bem simétrica, pois o campo elétrica vai ser o mesmo em qualquer ponto a uma mesma distância da carga. Então, a gente pode escolher nossa superfície gaussiana como uma esfera de raio centrada na carga.

Passo 4

Com essa escolha, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície da esfera e é perpendicular a ela. Então, o fluxo elétrico simplifica para:
Aqui, é a área da esfera.

Passo 5

Agora, basta isolar na equação:
Esse é o campo elétrico devido a uma carga pontual em qualquer ponto a uma distância dela.

Resposta

O campo elétrico em todo o espaço é dado por:
Onde é o vetor unitário na direção radial a partir da carga .

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