(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico em todo o espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em todo o espaço. Isso faz parte da matéria de Eletrostática, que estuda as cargas elétricas em repouso e os campos que elas criam. Para resolver isso, a gente vai precisar entender a Lei de Gauss, simetrias do problema e como aplicar essas ideias para encontrar o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que a quantidade total de fluxo elétrico passando por uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Isso significa que, se a gente escolher uma superfície apropriada, podemos simplificar bastante os cálculos do campo elétrico
.
Passo 3
Agora, vamos considerar que temos uma carga pontual
localizada na origem. Essa é uma situação bem simétrica, pois o campo elétrica vai ser o mesmo em qualquer ponto a uma mesma distância da carga. Então, a gente pode escolher nossa superfície gaussiana como uma esfera de raio
centrada na carga.
Passo 4
Com essa escolha, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em toda a superfície da esfera e é perpendicular a ela. Então, o fluxo elétrico
simplifica para:
Aqui,
é a área da esfera.
Passo 5
Agora, basta isolar
na equação:
Esse é o campo elétrico devido a uma carga pontual
em qualquer ponto a uma distância
dela.
Resposta
O campo elétrico em todo o espaço é dado por:
Onde
é o vetor unitário na direção radial a partir da carga
.
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e (II)
.
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