Utilizando o método de Euler, determine a solução da equação diferencial dy / dt = y - t - 1, com a condição inicial y (0) = 1, trabalhando com quatro casas decimais, adotando o intervalo [0, 0, 3] e passo Δ t = 0,1.
a. 0, 969
b. 0, 9375
c. 0, 8524
d. 0, 6352
e. 0, 3256
a. 0, 969
b. 0, 9375
c. 0, 8524
d. 0, 6352
e. 0, 3256
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Euler. A equação que temos é
e a condição inicial é
. Vamos trabalhar no intervalo de
de 0 a 0,3, com um passo
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Método de Euler, que é uma forma simples de aproximar soluções de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como o Método de Euler funciona. Ele basicamente usa a inclinação da função no ponto atual para estimar o próximo ponto. A fórmula geral é:
Onde $ f(t, y) $ é a derivada $ \frac{dy}{dt} $, que nesse caso é $ y - t - 1 $.
Passo 3
Começamos com $ t_0 = 0 $ e $ y_0 = 1 $. Vamos calcular $ y_1 $ usando a fórmula de Euler:
Então:
Passo 4
Agora, avançamos para $ t_1 = t_0 + \Delta t = 0,1 $. Calculamos $ f(t_1, y_1) $:
Então:
Passo 5
Seguimos para $ t_2 = t_1 + \Delta t = 0,2 $. Calculamos $ f(t_2, y_2) $:
Então:
Resposta
A solução aproximada usando o Método de Euler é $ y(0,3) = 0,9690 $. Portanto, a resposta correta é a opção a. 0,969.