Utilizando o método de Euler, determine a solução da equação diferencial dy / dt = y - t - 1, com a condição inicial y (0) = 1, trabalhando com quatro casas decimais, adotando o intervalo [0, 0, 3] e passo Δ t = 0,1.
a. 0, 969
b. 0, 9375
c. 0, 8524
d. 0, 6352
e. 0, 3256

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Euler. A equação que temos é dydt = y - t - 1 e a condição inicial é y(0) = 1. Vamos trabalhar no intervalo de t de 0 a 0,3, com um passo De. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Método de Euler, que é uma forma simples de aproximar soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o Método de Euler funciona. Ele basicamente usa a inclinação da função no ponto atual para estimar o próximo ponto. A fórmula geral é:
yn+1 = yn + De
Onde $ f(t, y) $ é a derivada $ \frac{dy}{dt} $, que nesse caso é $ y - t - 1 $.

Passo 3

Começamos com $ t_0 = 0 $ e $ y_0 = 1 $. Vamos calcular $ y_1 $ usando a fórmula de Euler:
t0 = 0
Então:
y0 = 1

Passo 4

Agora, avançamos para $ t_1 = t_0 + \Delta t = 0,1 $. Calculamos $ f(t_1, y_1) $:
t1 = t0 + De
Então:
f(t1, y1)

Passo 5

Seguimos para $ t_2 = t_1 + \Delta t = 0,2 $. Calculamos $ f(t_2, y_2) $:
t2 = t1 + De
Então:
f(t2, y2)

Resposta

A solução aproximada usando o Método de Euler é $ y(0,3) = 0,9690 $. Portanto, a resposta correta é a opção a. 0,969.

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