Utilizando a série de dados:
e 15, comprove as seguintes propriedades da média aritmética.
d) A soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou seja, é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a outro valor qualquer. Isto é,
é mínima.
Sugestão: Utilize os desvios calculados para a propriedade a). Calcule a soma de seus quadrados e constate que ela é menor que qualquer outra soma de quadrados cuja origem não seja a média
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d) A soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou seja, é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a outro valor qualquer. Isto é,
Sugestão: Utilize os desvios calculados para a propriedade a). Calcule a soma de seus quadrados e constate que ela é menor que qualquer outra soma de quadrados cuja origem não seja a média
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série de dados: 2, 7, 8 e 15. A questão pede pra gente comprovar que a média aritmética dessa série tem uma propriedade bem legal: a soma dos quadrados dos desvios em relação a essa média é a menor possível, ou seja, sempre será menor do que se a gente escolher qualquer outro valor.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Calcular a média aritmética dos dados.
- Encontrar os desvios de cada dado em relação à média.
- Calcular a soma dos quadrados desses desvios.
- Comparar essa soma com a soma dos quadrados dos desvios em relação a outro valor qualquer.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média aritmética dos nossos dados. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores.
Então, a média dos dados é 8.
Passo 3
Agora, vamos calcular os desvios de cada dado em relação à média. O desvio é simplesmente quanto cada valor se afastou da média.
Então, os desvios são: -6, -1, 0 e 7.
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma dos quadrados desses desvios. Isso significa que vamos elevar cada desvio ao quadrado e somar tudo.
Então, a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é 86.
Passo 5
Para comprovar que essa soma é a menor possível, vamos escolher outro valor qualquer e calcular a soma dos quadrados dos desvios em relação a ele. Vamos escolher, por exemplo, o valor 7.
Primeiro, calculamos os desvios em relação a 7:
Agora, calculamos a soma dos quadrados desses novos desvios:
Observamos que 90 > 86, ou seja, a soma dos quadrados dos desvios quando usamos 7 é maior do que quando usamos a média 8.
Resposta
A soma dos quadrados dos desvios em relação à média é 86, que é menor do que a soma dos quadrados dos desvios em relação a qualquer outro valor escolhido, como demonstrado com o valor 7, que resultou em 90. Portanto, comprovamos que
é mínima quando
é a média aritmética dos dados.