Utilizando a série de dados: 2,7,8 e 15, comprove as seguintes propriedades da média aritmética.
d) A soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou seja, é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a outro valor qualquer. Isto é, Sigma(xi-barx)^2 é mínima.
Sugestão: Utilize os desvios calculados para a propriedade a). Calcule a soma de seus quadrados e constate que ela é menor que qualquer outra soma de quadrados cuja origem não seja a média barx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série de dados: 2, 7, 8 e 15. A questão pede pra gente comprovar que a média aritmética dessa série tem uma propriedade bem legal: a soma dos quadrados dos desvios em relação a essa média é a menor possível, ou seja, sempre será menor do que se a gente escolher qualquer outro valor.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Calcular a média aritmética dos dados.
  • Encontrar os desvios de cada dado em relação à média.
  • Calcular a soma dos quadrados desses desvios.
  • Comparar essa soma com a soma dos quadrados dos desvios em relação a outro valor qualquer.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média aritmética dos nossos dados. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores.
barx = 2 + 7 + 8 + 154 = 324 = 8
Então, a média dos dados é 8.

Passo 3

Agora, vamos calcular os desvios de cada dado em relação à média. O desvio é simplesmente quanto cada valor se afastou da média.
d1 &= 2 - 8 = -6 d2 &= 7 - 8 = -1 d3 &= 8 - 8 = 0 d4 &= 15 - 8 = 7
Então, os desvios são: -6, -1, 0 e 7.

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma dos quadrados desses desvios. Isso significa que vamos elevar cada desvio ao quadrado e somar tudo.
Sigma (di)^2 = (-6)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 7^2 = 36 + 1 + 0 + 49 = 86
Então, a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é 86.

Passo 5

Para comprovar que essa soma é a menor possível, vamos escolher outro valor qualquer e calcular a soma dos quadrados dos desvios em relação a ele. Vamos escolher, por exemplo, o valor 7.
Primeiro, calculamos os desvios em relação a 7:
d'1 &= 2 - 7 = -5 d'2 &= 7 - 7 = 0 d'3 &= 8 - 7 = 1 d'4 &= 15 - 7 = 8
Agora, calculamos a soma dos quadrados desses novos desvios:
Sigma (d'i)^2 = (-5)^2 + 0^2 + 1^2 + 8^2 = 25 + 0 + 1 + 64 = 90
Observamos que 90 > 86, ou seja, a soma dos quadrados dos desvios quando usamos 7 é maior do que quando usamos a média 8.

Resposta

A soma dos quadrados dos desvios em relação à média é 86, que é menor do que a soma dos quadrados dos desvios em relação a qualquer outro valor escolhido, como demonstrado com o valor 7, que resultou em 90. Portanto, comprovamos que Sigma(xi-barx)^2 é mínima quando barx é a média aritmética dos dados.

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