Utilizando o teste da comparação do limite, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=1^infty 11+2+3+ldots n

Passo 1

Então, temos que analisar a série infinita . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Comparação de Limites, que ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série conhecida. Para isso, vamos precisar identificar uma série simples com a qual possamos comparar a nossa série original.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da nossa série. A soma sumn=1^infty 11+2+3+ldots +n = sumn=1^infty 2n(n+1) é uma progressão aritmética que soma os primeiros números naturais. A fórmula para essa soma é . Então, podemos reescrever nossa série assim:

Passo 3

Agora, observamos que a série é semelhante a uma série p, que tem a forma . Sabemos que a série p converge se e diverge se . Aqui, vamos usar o Teste da Comparação de Limites para comparar nossa série com uma série p que conhecemos.

Passo 4

Vamos escolher a série p limn to infty 2n(n+1)1n^2 = limn to infty 2n^2n(n+1) = limn to infty 2nn+1 = 2 , que sabemos que converge porque . Agora, aplicamos o Teste da Comparação de Limites:

Passo 5

O limite calculado é 2, um número finito e positivo. Segundo o Teste da Comparação de Limites, se o limite das razões das séries for um número positivo finito, ambas as séries convergem ou divergem juntas. Já que a série p converge, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Comparação de Limites.

Exercícios relacionados