Utilizando o teste da comparação do limite, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
Então, temos que analisar a série infinita
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Comparação de Limites, que ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série conhecida. Para isso, vamos precisar identificar uma série simples com a qual possamos comparar a nossa série original.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da nossa série. A soma
é uma progressão aritmética que soma os primeiros
números naturais. A fórmula para essa soma é
. Então, podemos reescrever nossa série assim:
Passo 3
Agora, observamos que a série
é semelhante a uma série p, que tem a forma
. Sabemos que a série p converge se
e diverge se
. Aqui, vamos usar o Teste da Comparação de Limites para comparar nossa série com uma série p que conhecemos.
Passo 4
Vamos escolher a série p
, que sabemos que converge porque
. Agora, aplicamos o Teste da Comparação de Limites:
Passo 5
O limite calculado é 2, um número finito e positivo. Segundo o Teste da Comparação de Limites, se o limite das razões das séries for um número positivo finito, ambas as séries convergem ou divergem juntas. Já que a série p
converge, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação de Limites.
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Determine: i) O oposto de - 31;
Represente os números abaixo em uma reta numérica:
. Agora, responda às questões. a) Qual é o maior desses números?