Utilizando o teste da comparação do limite, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série converge ou diverge usando o teste da comparação de limites. Esse teste faz parte da matéria de cálculo de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar comparar nossa série com uma série conhecida e calcular um limite que nos ajude a concluir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste da comparação de limites. Esse teste serve para comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge. A gente calcula o limite do quociente entre os termos das duas séries quando tende ao infinito. Se esse limite for um número positivo e finito, as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma série para comparar. Olhando para , vemos que ela é parecida com , que é uma p-série com . Sabemos que uma p-série converge se e diverge se . Como , a série diverge.

Passo 4

Vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries:

Passo 5

O limite que calculamos é 0, que é menor que um. No teste da comparação de limites, se o limite for 0 e a série com que estamos comparando diverge, não podemos concluir nada diretamente sobre a nossa série. Então, precisamos tentar outra abordagem.

Passo 6

Vamos reconsiderar nossa escolha de comparação. Note que a presença do no denominador faz com que os termos da nossa série sejam menores que os da série . No entanto, como cresce sem limites, isso sugere que os termos da nossa série diminuem mais rapidamente. Apesar disso, a série já diverge, e diminuir os termos mais lentamente não garante convergência.

Passo 7

Uma outra abordagem é usar o teste da integral. Considerando a função , vamos analisar a integral:

Passo 8

Fazendo uma substituição , temos e . A integral se transforma em:
Essa integral diverge porque o termo cresce exponencialmente, superando o denominador .

Passo 9

Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Determine: i) O oposto de - 31;