Utilizando o teste da comparação do limite, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=2 1raizn ln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série sumn=2^infty 1raizn ln n converge ou diverge usando o teste da comparação de limites. Esse teste faz parte da matéria de cálculo de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar comparar nossa série com uma série conhecida e calcular um limite que nos ajude a concluir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste da comparação de limites. Esse teste serve para comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge. A gente calcula o limite do quociente entre os termos das duas séries quando tende ao infinito. Se esse limite for um número positivo e finito, as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma série para comparar. Olhando para 1raizn ln n, vemos que ela é parecida com 1raizn, que é uma p-série com sum 1n^p. Sabemos que uma p-série sum 1raizn converge se e diverge se . Como , a série diverge.

Passo 4

Vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries:
limn to infty 1raizn ln n1raizn = limn to infty 1ln n = 0

Passo 5

O limite que calculamos é 0, que é menor que um. No teste da comparação de limites, se o limite for 0 e a série com que estamos comparando diverge, não podemos concluir nada diretamente sobre a nossa série. Então, precisamos tentar outra abordagem.

Passo 6

Vamos reconsiderar nossa escolha de comparação. Note que a presença do ln n no denominador faz com que os termos da nossa série sejam menores que os da série 1raizn. No entanto, como ln n cresce sem limites, isso sugere que os termos da nossa série diminuem mais rapidamente. Apesar disso, a série sum 1raizn já diverge, e diminuir os termos mais lentamente não garante convergência.

Passo 7

Uma outra abordagem é usar o teste da integral. Considerando a função f(n) = 1raizn ln n, vamos analisar a integral:
integral2^infty 1raizx ln x , dx

Passo 8

Fazendo uma substituição integralln 2^infty e^u/2u , du , temos e . A integral se transforma em:
Essa integral diverge porque o termo cresce exponencialmente, superando o denominador .

Passo 9

Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série sumn=2^infty 1raizn ln n também diverge.

Resposta

A série sumn=2^infty 1raizn ln n diverge.

Exercícios relacionados