Utilizando o teste da comparação do limite, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série
converge ou diverge usando o teste da comparação de limites. Esse teste faz parte da matéria de cálculo de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar comparar nossa série com uma série conhecida e calcular um limite que nos ajude a concluir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o teste da comparação de limites. Esse teste serve para comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge. A gente calcula o limite do quociente entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito. Se esse limite for um número positivo e finito, as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma série para comparar. Olhando para
, vemos que ela é parecida com
, que é uma p-série com
. Sabemos que uma p-série
converge se
e diverge se
. Como
, a série
diverge.
Passo 4
Vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Passo 5
O limite que calculamos é 0, que é menor que um. No teste da comparação de limites, se o limite for 0 e a série com que estamos comparando diverge, não podemos concluir nada diretamente sobre a nossa série. Então, precisamos tentar outra abordagem.
Passo 6
Vamos reconsiderar nossa escolha de comparação. Note que a presença do
no denominador faz com que os termos da nossa série sejam menores que os da série
. No entanto, como
cresce sem limites, isso sugere que os termos da nossa série diminuem mais rapidamente. Apesar disso, a série
já diverge, e diminuir os termos mais lentamente não garante convergência.
Passo 7
Uma outra abordagem é usar o teste da integral. Considerando a função
, vamos analisar a integral:
Passo 8
Fazendo uma substituição
, temos
e
. A integral se transforma em:
Essa integral diverge porque o termo
cresce exponencialmente, superando o denominador
.
Passo 9
Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Determine: i) O oposto de - 31;