Utilizando o teste da comparação do limite, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o teste da comparação de limites para determinar se a série
converge ou diverge. Vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já conhece, tipo uma série p.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação de limites. Esse teste nos ajuda a comparar duas séries, uma que a gente quer estudar e outra que já sabemos se ela converge ou diverge. A ideia é calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos escolher uma série de referência para comparar com a nossa. Observando a nossa série
, percebemos que conforme
cresce,
também cresce, então o termo
fica parecido com
. Assim, podemos comparar com a série
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries:
Simplificando esse limite:
Passo 5
Segundo o teste da comparação de limites, se o limite for um número positivo e finito, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência ou divergência. Então, precisamos saber o que acontece com a série
.
Passo 6
Observamos que a série
diverge. Isso porque, embora os termos estejam diminuindo, eles não tendem a zero suficientemente rápido para que a série some a um valor finito.
Resposta
Portanto, a série
também diverge.
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Utilizando o teste da comparação, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
Coloque os numeros em ordem decrescente:
.
Utilizando o teste da comparação do limite, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
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