Utilizando o teste da comparação do limite, determine a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=1 11+ln n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o teste da comparação de limites para determinar se a série sumn=1 11+ln n converge ou diverge. Vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já conhece, tipo uma série p.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação de limites. Esse teste nos ajuda a comparar duas séries, uma que a gente quer estudar e outra que já sabemos se ela converge ou diverge. A ideia é calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos escolher uma série de referência para comparar com a nossa. Observando a nossa série sumn=1 11+ln n, percebemos que conforme sumn=1 1ln n cresce, também cresce, então o termo fica parecido com . Assim, podemos comparar com a série .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries:
limn to infty 11+ln n1ln n = limn to infty ln n1 + ln n
Simplificando esse limite:
limn to infty ln n1 + ln n = 1

Passo 5

Segundo o teste da comparação de limites, se o limite for um número positivo e finito, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência ou divergência. Então, precisamos saber o que acontece com a série sumn=1 1ln n.

Passo 6

Observamos que a série sumn=1 1ln n diverge. Isso porque, embora os termos estejam diminuindo, eles não tendem a zero suficientemente rápido para que a série some a um valor finito.

Resposta

Portanto, a série sumn=1 11+ln n também diverge.

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