Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido abaixo da parabolóide 2 = x^2 + y^2 e acima do disco x^2 + y^2 <= 9

Passo 1

Beleza! A gente tem que achar o volume de um sólido que está abaixo da paraboloide e acima de um disco definido por . Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa conta. Para isso, vamos precisar transformar as equações para polares e configurar uma integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em vez de usar e , usamos e , onde:
Aqui, é a distância da origem e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação da paraboloide em coordenadas polares. Substituindo e :
Então, a paraboloide fica em coordenadas polares.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. O disco em polares é . E o ângulo varia de a para cobrir todo o disco. Então:

Passo 5

O volume pode ser encontrado usando uma integral dupla em coordenadas polares. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é a altura do sólido em cada ponto , e multiplicamos por porque é o fator de escala de área em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna fica:
Mas como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Passo 7

Agora, vamos integrar isso em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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