Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido abaixo da parabolóide
e acima do disco
Passo 1
Beleza! A gente tem que achar o volume de um sólido que está abaixo da paraboloide
e acima de um disco definido por
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa conta. Para isso, vamos precisar transformar as equações para polares e configurar uma integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em vez de usar
e
, usamos
e
, onde:
Aqui,
é a distância da origem e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação da paraboloide em coordenadas polares. Substituindo
e
:
Então, a paraboloide fica
em coordenadas polares.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. O disco
em polares é
. E o ângulo
varia de
a
para cobrir todo o disco. Então:
Passo 5
O volume
pode ser encontrado usando uma integral dupla em coordenadas polares. A fórmula geral para o volume é:
Aqui,
é a altura do sólido em cada ponto
, e multiplicamos por
porque é o fator de escala de área em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna fica:
Mas como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Passo 7
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a integral iterada
Calcule as derivadas primeiras das seguintes funções
Calcule o valor de
onde a função
não possui derivada primeira (justifique a sua resposta)
Determine a área de superfície da parte do plano
que está acima do retângulo