Calcule a integral iterada integral0^1 integral0^7 integral0^x+z 6 x z d y d x d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada . Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável , depois e por último .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^x+z 6xz , dy = 6xz cdot (x + z - 0) = 6xz(x + z) . A função a ser integrada é , e os limites para vão de até . Como não depende de , a integral em relação a é simplesmente:

Passo 3

Agora, nossa integral dupla ficou assim:
integral0^1 integral0^7 6xz(x + z) , dx , dz
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
6xz(x + z) = 6xz cdot x + 6xz cdot z = 6x^2 z + 6x z^2
Então, a integral passa a ser:
integral0^1 integral0^7 (6x^2 z + 6x z^2) , dx , dz

Passo 4

Vamos agora integrar em relação a integral0^7 6x^2 z , dx = 6z integral0^7 x^2 , dx = 6z [ x^33 ]0^7 = 6z ( 3433 - 0 ) = 6z cdot 3433 = 686z . Vamos fazer isso termo a termo:
Para integral0^7 6x z^2 , dx = 6z^2 integral0^7 x , dx = 6z^2 [ x^22 ]0^7 = 6z^2 ( 492 - 0 ) = 6z^2 cdot 492 = 147z^2 :
integral0^1 (686z + 147z^2) , dz
Para :
Então, a integral dupla resultante é:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^1 686z , dz = 686 integral0^1 z , dz = 686 [ z^22 ]0^1 = 686 ( 12 - 0 ) = 343 :
Para integral0^1 147z^2 , dz = 147 integral0^1 z^2 , dz = 147 [ z^33 ]0^1 = 147 ( 13 - 0 ) = 49 :
Para :

Resposta

Somando os resultados das integrais, temos:
343 + 49 = 392
Então, o valor da integral tripla é 392.

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