Utilize integração por partes para calcular: integral x^3 sen(x^2) d x Resposta: -12 x^2 cos (x^2)+12 sen(x^2)+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar qual parte da integral vamos derivar e qual vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = x^3 e dv = sen(x^2) dx . Nesse caso, deixamos:
du = 3x^2 dx
Agora, vamos derivar v = integral sen(x^2) dx e integrar :

Passo 3

Aí vem a parte interessante: precisamos encontrar a integral de . Para isso, fazemos uma substituição. Vamos deixar v = integral sen(w) cdot dw2x , então , ou seja, . A integral fica:
Mas observando que , a integral não fica mais simples. Então, voltamos e percebemos que precisamos usar outra técnica ou aceitar que não há uma forma elementar para essa parte. Entretanto, dentro do contexto de integração por partes, continuamos com os passos formais.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que temos:
Como integral x^3 sen(x^2) dx = x^3 cdot v - integral v cdot 3x^2 dx não foi resolvido de forma elementar, precisamos reconsiderar nossa escolha de u = x^2 e dv = x sen(x^2) dx . Vamos tentar de novo com:

Passo 5

Dessa forma:
du = 2x dx
Para v = integral x sen(x^2) dx , agora a integral fica mais simples:
Fazendo a substituição v = 12 integral sen(w) dw = -12 cos(w) + C = -12 cos(x^2) + C , , então:

Passo 6

Agora substituímos na fórmula de integração por partes:
integral x^3 sen(x^2) dx = u cdot v - integral v cdot du
= x^2 cdot ( -12 cos(x^2) ) - integral ( -12 cos(x^2) ) cdot 2x dx

Passo 7

A última integral, integral x cos(x^2) dx = 12 integral cos(w) dw = 12 sen(w) + C = 12 sen(x^2) + C , já sabemos resolver com substituição. De novo, seja , então , e:

Resposta

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