Utilize integração por partes para calcular: integral(x+3) e^2 x d x Resposta: 12(x+3) e^2 x-14 e^2 x+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral (x + 3) e^2x , dx. Essa é uma questão de integração por partes, que é uma técnica usada quando temos um produto de duas funções. Aqui, temos (x + 3) e e^2x. Para resolver, precisamos identificar quais partes serão atribuídas a u e dv na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nosso objetivo é escolher u e dv de forma que a integral fique mais fácil de resolver depois.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x + 3 Rightarrow du = dx
dv = e^2x , dx Rightarrow v = 12 e^2x
Essas escolhas simplificam os termos na integração por partes.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral (x + 3) e^2x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
= (x + 3) cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral 12 e^2x , dx = 12 cdot 12 e^2x = 14 e^2x

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
(x + 3) cdot 12 e^2x - 14 e^2x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral (x + 3) e^2x , dx = 12(x + 3) e^2x - 14 e^2x + C

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