Determine a derivada das seguintes funções: G(x)=integralx^2^0 sen tt d t, Resposta: G^prime(x)=-2 sen(x^2)x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função definida por uma integral, que é . O que queremos é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para fazer isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Precisamos lembrar como derivar funções definidas por integrais e como lidar com limites que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral com um limite superior que depende de , como , então a derivada é .

Passo 3

No nosso caso, a integral tem o limite superior constante 0 e o limite inferior G(x) = -integral0^x^2 sen tt , dt . Mas para aplicar o teorema, vamos reescrever a integral trocando os limites de integração, o que muda o sinal:
Agora, está na forma onde o limite superior é , e podemos aplicar o teorema diretamente.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de G'(x) = -sen(x^2)x^2 cdot ddx(x^2) em relação a é:
Aqui, pela Regra da Potência.

Passo 5

Substituindo a derivada de G'(x) = -sen(x^2)x^2 cdot 2x na expressão, temos:
Agora, simplificamos a expressão multiplicando os termos.

Passo 6

Multiplicando os termos, simplificamos G'(x) = -2 cdot sen(x^2)x . Assim, ficamos com:

Resposta

Portanto, a derivada de G^prime(x) = -2 sen(x^2)x é:

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