Determine a derivada das seguintes funções:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função definida por uma integral, que é . O que queremos é encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. Para fazer isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Precisamos lembrar como derivar funções definidas por integrais e como lidar com limites que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral com um limite superior que depende de
, como
, então a derivada
é
.
Passo 3
No nosso caso, a integral tem o limite superior constante 0 e o limite inferior
. Mas para aplicar o teorema, vamos reescrever a integral trocando os limites de integração, o que muda o sinal:
Agora,
está na forma onde o limite superior é
, e podemos aplicar o teorema diretamente.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
pela Regra da Potência.
Passo 5
Substituindo a derivada de
na expressão, temos:
Agora, simplificamos a expressão multiplicando os termos.
Passo 6
Multiplicando os termos, simplificamos
. Assim, ficamos com:
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
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Utilize integração por partes para calcular:
Resposta:
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Resposta:
Determine se
é ponto crítico de
Resposta: Sim.
Dada a hélice circular
onde
, encontre o comprimento de arco
até
.