Determine os valores de r para os quais a função y(t) é solução da equação:
a) y(t) = r / (t^2 - 3), e y' + t y^2 = 0.
b) y(t) = r / (t^2 + 1), e y' - 2 t y^2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções que precisam ser soluções de duas equações diferenciais diferentes. O objetivo é encontrar os valores de que fazem essas funções atenderem às equações dadas. Para isso, vamos usar derivadas e resolver algumas equações matemáticas. Vamos dividir isso em duas partes: a) e b).

Passo 2

Parte a)
Temos:
e a equação diferencial:
Passo 2.1: Vamos calcular a derivada de em relação a .
Usando a regra da derivada para uma função do tipo , onde , temos:
Passo 2.2: Substituímos e na equação diferencial.
Passo 2.3: Simplificamos a equação.
Para que o produto seja zero, o fator .
Passo 2.4: Resolvemos para .
Então, ou .
Como dá uma solução trivial , o valor interessante é .

Passo 3

Parte b)
Temos:
e a equação diferencial:
Passo 3.1: Vamos calcular a derivada de em relação a .
Usando a regra da derivada para uma função do tipo , onde , temos:
Passo 3.2: Substituímos e na equação diferencial.
Passo 3.3: Simplificamos a equação.
Para que o produto seja zero, o fator .
Passo 3.4: Resolvemos para .
Então, ou .
Novamente, dá uma solução trivial , então o valor interessante é .

Resposta

a)
b)

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Determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
d) F(x, y, z) = x^2 i + y^2 j + z^2 k, S é a fronteira do semicilindro sólido 0 <= z <= raiz(1 - y^2), 0 <= x <= 2.2 pi + 8/3.
Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por: y = 3 + 2 x - x^2 ; x + y = 3, em torno do eixo y.
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
(1+x^2) y^3 dx + (1-y^2) x^3 dy = 0
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
sec^2(x) * tg(y) dx + sec^2(y) * tg(x) dy = 0