Determine os valores de
para os quais a função
é solução da equação:
a)
, e
.
b)
, e
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções
que precisam ser soluções de duas equações diferenciais diferentes. O objetivo é encontrar os valores de
que fazem essas funções atenderem às equações dadas. Para isso, vamos usar derivadas e resolver algumas equações matemáticas. Vamos dividir isso em duas partes: a) e b).
Passo 2
Parte a)
Temos:
e a equação diferencial:
Passo 2.1: Vamos calcular a derivada de
em relação a
.
Usando a regra da derivada para uma função do tipo
, onde
, temos:
Passo 2.2: Substituímos
e
na equação diferencial.
Passo 2.3: Simplificamos a equação.
Para que o produto seja zero, o fator
.
Passo 2.4: Resolvemos para
.
Então,
ou
.
Como
dá uma solução trivial
, o valor interessante é
.
Passo 3
Parte b)
Temos:
e a equação diferencial:
Passo 3.1: Vamos calcular a derivada de
em relação a
.
Usando a regra da derivada para uma função do tipo
, onde
, temos:
Passo 3.2: Substituímos
e
na equação diferencial.
Passo 3.3: Simplificamos a equação.
Para que o produto seja zero, o fator
.
Passo 3.4: Resolvemos para
.
Então,
ou
.
Novamente,
dá uma solução trivial
, então o valor interessante é
.
Resposta
a)
b)
Exercícios relacionados
Determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
d) ,
é a fronteira do semicilindro sólido
.
d)
Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo
.
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis: