Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
sabendo que são duas soluções da equação homogênea associada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. O enunciado nos dá a equação:
E também nos informa que as soluções da equação homogênea associada são e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar a variação dos parâmetros para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais padrão. Dividindo toda a equação por , temos:
Isso facilita a aplicação dos métodos que conhecemos.

Passo 3

Sabemos que a solução geral da equação homogênea associada ( ) é dada por uma combinação linear das soluções e :
Onde e são constantes que serão determinadas.

Passo 4

Agora, para encontrar uma solução particular ( ) da equação completa, usamos o método de variação dos parâmetros. A ideia é assumir que as constantes e não são constantes, mas funções de : e .
Então, nossa solução particular será:

Passo 5

Para encontrar e , precisamos derivar :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituímos , e na equação diferencial original:
Depois de substituir, simplificamos e igualamos os termos para encontrar equações para e .

Passo 7

Para simplificar, impomos uma condição adicional que nos ajuda a resolver para e . Geralmente, escolhemos:
Nesse caso:

Passo 8

Com essa condição, substituímos na equação original e resolvemos o sistema de equações para e . Após resolver, integramos para encontrar e .

Passo 9

Após calcular e , substituímos novamente na expressão de para obter a solução particular.

Passo 10

Por fim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
çã

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
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