Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
sabendo que
são duas soluções da equação homogênea associada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. O enunciado nos dá a equação:
E também nos informa que as soluções da equação homogênea associada são
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar a variação dos parâmetros para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais padrão. Dividindo toda a equação por
, temos:
Isso facilita a aplicação dos métodos que conhecemos.
Passo 3
Sabemos que a solução geral da equação homogênea associada (
) é dada por uma combinação linear das soluções
e
:
Onde
e
são constantes que serão determinadas.
Passo 4
Agora, para encontrar uma solução particular (
) da equação completa, usamos o método de variação dos parâmetros. A ideia é assumir que as constantes
e
não são constantes, mas funções de
:
e
.
Então, nossa solução particular será:
Passo 5
Para encontrar
e
, precisamos derivar
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Depois de substituir, simplificamos e igualamos os termos para encontrar equações para
e
.
Passo 7
Para simplificar, impomos uma condição adicional que nos ajuda a resolver para
e
. Geralmente, escolhemos:
Nesse caso:
Passo 8
Com essa condição, substituímos na equação original e resolvemos o sistema de equações para
e
. Após resolver, integramos para encontrar
e
.
Passo 9
Após calcular
e
, substituímos novamente na expressão de
para obter a solução particular.
Passo 10
Por fim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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- (3 pts.) Encontre as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo
da seguinte maneira:
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais: