Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Resumo da Questão:
Precisamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
utilizando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar conhecer a resolução de equações diferenciais homogêneas e como aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução particular.

Passo 2

Resolvendo a Equação Homogênea Associada:
Primeiro, consideramos a equação homogênea ligada à equação dada:
Para resolver essa equação homogênea, vamos encontrar as soluções da equação característica correspondente.

Passo 3

Encontrando a Equação Característica:
A equação característica associada é obtida substituindo por , por , e por 1:
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão complexas:

Passo 4

Escrevendo a Solução Geral da Equação Homogênea:
Com as raízes complexas encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde:
e são constantes de integração que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicando o Método de Variação dos Parâmetros para Encontrar a Solução Particular:
Como o termo do lado direito da equação original é , vamos procurar uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.
Derivando :
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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