Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Resumo da Questão:
Precisamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
Precisamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
utilizando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar conhecer a resolução de equações diferenciais homogêneas e como aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução particular.
Passo 2
Resolvendo a Equação Homogênea Associada:
Primeiro, consideramos a equação homogênea ligada à equação dada:
Primeiro, consideramos a equação homogênea ligada à equação dada:
Para resolver essa equação homogênea, vamos encontrar as soluções da equação característica correspondente.
Passo 3
Encontrando a Equação Característica:
A equação característica associada é obtida substituindo por
,
por
, e
por 1:
A equação característica associada é obtida substituindo
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas:
Passo 4
Escrevendo a Solução Geral da Equação Homogênea:
Com as raízes complexas encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Com as raízes complexas encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde:
Passo 5
Aplicando o Método de Variação dos Parâmetros para Encontrar a Solução Particular:
Como o termo do lado direito da equação original é , vamos procurar uma solução particular da forma:
Como o termo do lado direito da equação original é
Onde
é uma constante a ser determinada.
Derivando :
Derivando
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.
Exercícios relacionados
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
sabendo que
são duas soluções da equação homogênea associada.
- (3 pts.) Encontre as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo
da seguinte maneira:
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
;