Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO)
usando o método das variáveis separáveis. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde a gente aprende a resolver equações que envolvem derivadas. Para resolver essa EDO, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de forma que todas as partes com
fiquem de um lado e as com
do outro. Lembrando que
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Então, temos:
Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral de
é
e a integral de
é
.
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados da equação:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos escrever
, onde
é uma nova constante. Além disso, podemos considerar que
pode ser positivo ou negativo, então simplificamos para:
onde
é uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da EDO
é:
onde
é uma constante arbitrária.
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