Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(d) (sumi=1^n i)^2=sumi=1^n i^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que demonstrar que o quadrado da soma dos números de 1 até (sumi=1^n i)^2 = sumi=1^n i^3 é igual à soma dos cubos desses mesmos números. Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma ferramenta poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando (sumi=1^1 i)^2 = (1)^2 = 1 . Isso é importante para iniciar a indução.
Calculando os dois lados da equação para sumi=1^1 i^3 = 1^3 = 1 :
Como ambos os lados são iguais, o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Agora, vamos fazer a hipótese de indução. Ou seja, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número (sumi=1^k i)^2 = sumi=1^k i^3 . Ou seja, estamos assumindo que:
Essa suposição é o nosso ponto de partida para provar que a afirmação também vale para .

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que se a afirmação é verdadeira para (sumi=1^k+1 i)^2 = (sumi=1^k i + (k+1))^2 = ((sumi=1^k i) + (k+1))^2 , então ela também é verdadeira para = (raizsumi=1^k i^3 + (k+1))^2 .
Vamos calcular os dois lados da equação para = (sumi=1^k i)^2 + 2 cdot (sumi=1^k i) cdot (k+1) + (k+1)^2 :
Lado esquerdo:
sumi=1^k+1 i^3 = sumi=1^k i^3 + (k+1)^3
Usando a hipótese de indução:
Para simplificar, expandimos o quadrado:
Lado direito:
Comparando os dois lados e simplificando, veremos que ambos os lados ficam iguais, o que confirma que a afirmação é válida para .

Resposta

Portanto, pelo Princípio da Indução Matemática, mostramos que:
(sumi=1^n i)^2 = sumi=1^n i^3
É válido para todo número natural .

Exercícios relacionados