Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que demonstrar que o quadrado da soma dos números de 1 até é igual à soma dos cubos desses mesmos números. Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma ferramenta poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando . Isso é importante para iniciar a indução.
Calculando os dois lados da equação para :
Como ambos os lados são iguais, o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Agora, vamos fazer a hipótese de indução. Ou seja, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número . Ou seja, estamos assumindo que:
Essa suposição é o nosso ponto de partida para provar que a afirmação também vale para .
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para .
Vamos calcular os dois lados da equação para :
Lado esquerdo:
Usando a hipótese de indução:
Para simplificar, expandimos o quadrado:
Lado direito:
Comparando os dois lados e simplificando, veremos que ambos os lados ficam iguais, o que confirma que a afirmação é válida para .
Resposta
Portanto, pelo Princípio da Indução Matemática, mostramos que: