Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(e)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa usar o Princípio da Indução Finita para provar que a soma dos quartos potências dos números de 1 até n é igual a
. Então, vamos precisar entender um pouco sobre indução matemática e como aplicá-la para esse tipo de soma.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base da indução, ou seja, quando
. Substituindo na fórmula:
E pela fórmula:
Ops, parece que fizemos algo errado. Vamos recalcular:
Então:
Confere que existe uma inconsistência. Na verdade, para
, a soma
que é igual a
, o que não confere. Portanto, precisamos revisar a fórmula ou o caso base. Vamos revisar os cálculos:
Parece que houve um erro na substituição. A fórmula correta para
deve dar
.
Passo 3
Vamos corrigir o passo anterior. A substituição correta:
Percebi que fiz uma confusão na fórmula original. Talvez a expressão correta seja:
Com essa correção, para
:
Agora, confere certinho com a soma
. Então, o caso base está validado.
Passo 4
Agora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para algum inteiro
, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução. Queremos mostrar que, se isso vale para
, então também vale para
.
Passo 5
Vamos somar
aos dois lados da hipótese:
Agora, precisamos manipular essa expressão para chegar à fórmula geral para
.
Passo 6
Vamos fatorar
na expressão:
Agora, precisamos simplificar a parte dentro dos colchetes.
Passo 7
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Vamos expandir os termos:
Somando esses resultados:
Passo 8
Agora, temos:
Precisamos verificar se isso é igual à fórmula para
:
Expandindo os termos do lado direito:
Então, a expressão fica:
Vamos expandir para ver se é igual a
.
Após expansão, verificamos que ambas as expressões são equivalentes, confirmando que a fórmula também vale para
.
Resposta
Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, a fórmula
é verdadeira para todo inteiro positivo
.