Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(j)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Princípio de Indução Finita para provar uma identidade envolvendo potências de
e
. A gente vai precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar algumas propriedades de potências. Basicamente, queremos mostrar que para todo número natural
, a equação
é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando
. Isso é importante porque na indução a gente começa confirmando que a equação funciona para o primeiro passo.
Para
:
E do outro lado:
Então, para
, os dois lados da equação são iguais. Isso confirma que a base da indução está correta.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum
. Ou seja, vamos assumir que:
Esse é o nosso passo indutivo. A ideia aqui é usar essa suposição para provar que a equação também vale para
.
Vamos considerar
:
Podemos reescrever
como
e
como
, então:
Agora, vamos manipular essa expressão:
Agora, aplicamos a nossa hipótese de indução, substituindo
pela expressão assumida correta:
Fatorando
:
E isso é exatamente a forma que queríamos provar para
. Assim, se vale para
, também vale para
.
Resposta
Portanto, pelo Princípio de Indução Finita, a identidade
é verdadeira para todo número natural
.