Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(j) a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)*b + a^(n-3)*b^2 + a^(n-4)*b^3 + ... + a^2*b^(n-3) + a*b^(n-2) + b^(n-1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Princípio de Indução Finita para provar uma identidade envolvendo potências de e . A gente vai precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar algumas propriedades de potências. Basicamente, queremos mostrar que para todo número natural , a equação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando . Isso é importante porque na indução a gente começa confirmando que a equação funciona para o primeiro passo.
Para :
E do outro lado:
Então, para , os dois lados da equação são iguais. Isso confirma que a base da indução está correta.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum . Ou seja, vamos assumir que:
Esse é o nosso passo indutivo. A ideia aqui é usar essa suposição para provar que a equação também vale para .
Vamos considerar :
Podemos reescrever como e como , então:
Agora, vamos manipular essa expressão:
Agora, aplicamos a nossa hipótese de indução, substituindo pela expressão assumida correta:
Fatorando :
E isso é exatamente a forma que queríamos provar para . Assim, se vale para , também vale para .

Resposta

Portanto, pelo Princípio de Indução Finita, a identidade é verdadeira para todo número natural .

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