Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior , orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema da Divergência, que é uma ferramenta da Cálculo Vetorial. Esse teorema ajuda a calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada transformando isso em uma integral de volume. Aqui, queremos calcular o fluxo do campo vetorial através da semi-esfera superior , com o normal apontando para fora.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede a quantidade de “algo” (como um fluido) que passa através de uma superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
O Teorema da Divergência nos diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume delimitado por :
Nesse caso, nossa superfície é apenas a semi-esfera superior, que não é fechada. Para aplicar o teorema, precisamos fechar a superfície adicionando a base da semi-esfera, que é o disco com .
Passo 4
Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Para :
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência para a superfície fechada composta pela semi-esfera e o disco :
Nosso objetivo é encontrar o fluxo através de , então precisamos rearranjar a equação:
Passo 6
Vamos calcular a integral de volume:
Usando coordenadas esféricas onde:
Com , , .
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Então, a integral fica:
Passo 7
Calculando a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 8
Agora, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , :
Passo 9
Por fim, integramos em relação a :
Passo 10
Agora, vamos calcular a integral sobre o disco . No disco , o vetor normal aponta para baixo, ou seja, para a direção . Então: