Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior , orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema da Divergência, que é uma ferramenta da Cálculo Vetorial. Esse teorema ajuda a calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada transformando isso em uma integral de volume. Aqui, queremos calcular o fluxo do campo vetorial através da semi-esfera superior , com o normal apontando para fora.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede a quantidade de “algo” (como um fluido) que passa através de uma superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

O Teorema da Divergência nos diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume delimitado por :
Nesse caso, nossa superfície é apenas a semi-esfera superior, que não é fechada. Para aplicar o teorema, precisamos fechar a superfície adicionando a base da semi-esfera, que é o disco com .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência para a superfície fechada composta pela semi-esfera e o disco :
Nosso objetivo é encontrar o fluxo através de , então precisamos rearranjar a equação:

Passo 6

Vamos calcular a integral de volume:
Usando coordenadas esféricas onde:
Com , , .
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Então, a integral fica:

Passo 7

Calculando a integral:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , :

Passo 9

Por fim, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, vamos calcular a integral sobre o disco . No disco , o vetor normal aponta para baixo, ou seja, para a direção . Então:
Á
A área de é , então:

Passo 11

Voltando à equação do fluxo através de :

Resposta

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Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a superfície com com o vetor normal apontando para cima.
Resp.: .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a curva de interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Resp.: .
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que é a parte superior da esfera . (Note que não é fechada.) Resp.: .
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que é a parte superior da esfera .
Resp.: .