Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a superfície com com o vetor normal apontando para cima.
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície dada. O enunciado nos apresenta um campo vetorial e uma superfície que é parte de um paraboloide. Para aplicar o Teorema de Stokes, vamos precisar encontrar o rotacional de e a curva de contorno da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , nos dá uma ideia de como o campo está “giro” em cada ponto. Para calcular, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente do rotacional para .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  1. Primeira componente:
    Aplicando a regra do produto e cadeia, isso fica um pouco complicado, mas como vamos usar Stokes, a gente pode notar que muitas dessas derivadas vão se cancelar ou simplificar no final.
  2. Segunda componente:
    E,
  3. Terceira componente:
    E,

Passo 4

Mas, para simplificar, vamos direto aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de com a integral de linha de ao longo da borda de :

Passo 5

Agora, precisamos identificar a curva de contorno da superfície . A superfície é dada por com . Então, a curva é onde , ou seja:
Então, é um círculo de raio 2 no plano .

Passo 6

Vamos parametrizar usando coordenadas polares:
Derivando em relação a :

Passo 7

Agora, vamos avaliar ao longo de :

Passo 8

Calculando o produto escalar :
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos de a :
Essa integral se divide em duas partes:
  1. (porque a integral de em um ciclo completo é zero)
  2. (usando a identidade )
Então,

Resposta

Exercícios relacionados

Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a curva de interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Resp.: .
Calcule , em que
e é a superfície , com , orientada com normal apontando para cima. Resp.: .
Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior , orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que é a parte superior da esfera . (Note que não é fechada.) Resp.: .