Utilize o Teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a superfície
com
com o vetor normal apontando para cima.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície dada. O enunciado nos apresenta um campo vetorial
e uma superfície
que é parte de um paraboloide. Para aplicar o Teorema de Stokes, vamos precisar encontrar o rotacional de
e a curva de contorno da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, nos dá uma ideia de como o campo está “giro” em cada ponto. Para calcular, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente do rotacional para
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
-
Primeira componente:Aplicando a regra do produto e cadeia, isso fica um pouco complicado, mas como vamos usar Stokes, a gente pode notar que muitas dessas derivadas vão se cancelar ou simplificar no final.
-
Segunda componente:E,
-
Terceira componente:E,
Passo 4
Mas, para simplificar, vamos direto aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de
com a integral de linha de
ao longo da borda
de
:
Passo 5
Agora, precisamos identificar a curva de contorno
da superfície
. A superfície é dada por
com
. Então, a curva
é onde
, ou seja:
Então,
é um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 6
Vamos parametrizar
usando coordenadas polares:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos avaliar
ao longo de
:
Passo 8
Calculando o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos de
a
:
Essa integral se divide em duas partes:
-
(porque a integral de em um ciclo completo é zero) -
(usando a identidade )
Então,
Resposta
Exercícios relacionados
Utilize o Teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a curva de interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Resp.: .
Resp.:
Calcule
, em que
e
é a superfície
, com
, orientada com normal apontando para cima. Resp.:
.
Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior
, orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .
Resp.:
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
é a parte superior da esfera
. (Note que
não é fechada.) Resp.:
.