Utilize o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S, em que
F(x, y, z)=lang<= z ln (4+x^2+y^2), x, e^x^2+y^2 sen^2(x y)rang<=
e S é a superfície z=9-x^2-y^2 com z >= 5 com o vetor normal apontando para cima.
Resp.: 4 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície dada. O enunciado nos apresenta um campo vetorial e uma superfície que é parte de um paraboloide. Para aplicar o Teorema de Stokes, vamos precisar encontrar o rotacional de e a curva de contorno da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por rot F = nabla times F = lang<= partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y rang<= , nos dá uma ideia de como o campo está “giro” em cada ponto. Para calcular, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente do rotacional para .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  1. Primeira componente:
    partial Fzpartial y = partialpartial y ( e^x^2+y^2 sin^2(x y) )
    Aplicando a regra do produto e cadeia, isso fica um pouco complicado, mas como vamos usar Stokes, a gente pode notar que muitas dessas derivadas vão se cancelar ou simplificar no final.
  2. Segunda componente:
    partial Fxpartial z = partialpartial z ( z ln (4+x^2+y^2) ) = ln (4+x^2+y^2)
    E,
    partial Fzpartial x = partialpartial x ( e^x^2+y^2 sin^2(x y) )
  3. Terceira componente:
    partial Fypartial x = partial xpartial x = 1
    E,
    partial Fxpartial y = partialpartial y ( z ln (4+x^2+y^2) ) = z cdot 2y4 + x^2 + y^2

Passo 4

Mas, para simplificar, vamos direto aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de integral duplaS rot F cdot dS = ointC F cdot dr com a integral de linha de ao longo da borda de :

Passo 5

Agora, precisamos identificar a curva de contorno 5 = 9 - x^2 - y^2 implies x^2 + y^2 = 4 da superfície . A superfície é dada por com . Então, a curva é onde , ou seja:
Então, é um círculo de raio 2 no plano .

Passo 6

Vamos parametrizar r(t) = lang<= 2 cos t, 2 sin t, 5 rang<=, t in [0, 2pi] usando coordenadas polares:
r,'(t) = lang<= -2 sin t, 2 cos t, 0 rang<=
Derivando em relação a :

Passo 7

Agora, vamos avaliar F(r(t)) = lang<= 5 ln (4 + 4), 2 cos t, e^4 sin^2(4 cos t sin t) rang<= = lang<= 5 ln 8, 2 cos t, e^4 sin^2(4 cos t sin t) rang<= ao longo de :

Passo 8

Calculando o produto escalar F cdot r,'(t) = 5 ln 8 cdot (-2 sin t) + 2 cos t cdot 2 cos t + e^4 sin^2(4 cos t sin t) cdot 0 :
= -10 ln 8 sin t + 4 cos^2 t
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos de ointC F cdot dr = integral0^2pi ( -10 ln 8 sin t + 4 cos^2 t ) dt a ointC F cdot dr = 0 + 4pi = 4pi :
Essa integral se divide em duas partes:
  1. (porque a integral de em um ciclo completo é zero)
  2. (usando a identidade )
Então,

Resposta

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