Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a curva de interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Resp.: .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes. O campo vetorial é dado por:
A curva é a interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos precisar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha a uma integral de superfície.
Passo 2
O Teorema de Stokes nos diz que:
Onde:
é a curva fechada.
é uma superfície que tem como sua fronteira.
é o rotacional de .
é o vetor de área da superfície.
Então, nossa primeira tarefa é encontrar o rotacional de , .
Passo 3
Calculando o rotacional :
Mas na verdade, os componentes de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z ) i - ( partial F3partial x - partial F1partial z ) j + ( partial F2partial x - partial F1partial y ) k são:
Então, o rotacional é:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
F3 = e^x^2+y^2 sin^2(x y) :
partial F3partial y = e^x^2+y^2 cdot 2 sin(x y) cos(x y) cdot x + e^x^2+y^2 sin^2(x y) cdot 2 y
Aplicando a derivada em relação a F2 = z ln(4 + x^2 + y^2) :
partial F2partial z = ln(4 + x^2 + y^2)
F1 = -y :
partial F1partial z = 0
Derivando em relação a F2 = z ln(4 + x^2 + y^2) :
partial F2partial x = z cdot 2x4 + x^2 + y^2
F1 = -y :
Usamos uma abordagem similar ao cálculo de partial F1partial y = -1 .
:
Como não depende de , temos:
:
Derivando em relação a :
:
Derivando em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas no rotacional:
nabla times F = ( Termos complicados ) i - ( Outro termo complicado ) j + ( z cdot 2x4 + x^2 + y^2 - (-1) ) k
Notamos que os termos nabla times F = [] i - [] j + ( 2z x4 + x^2 + y^2 + 1 ) k e são bastante complicados, mas vamos focar na componente , que já está simplificada:
Passo 6
Agora, precisamos escolher uma superfície integral duplaS (nabla times F) cdot k , dS = integral duplaS ( 2z x4 + x^2 + y^2 + 1 ) dS que tenha integral duplaS 1 , dS como sua borda. Uma boa escolha é o disco no plano onde , já que está nessa interseção.
Para essa superfície, o vetor normal será na direção do eixo , ou seja, .
Então, a integral de superfície se reduz a:
Como no disco , pois é a interseção com o cilindro no plano , então .
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 7
A integral Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi representa a área do disco de raio .