Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a curva de interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Resp.: .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes. O campo vetorial é dado por:
A curva é a interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos precisar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha a uma integral de superfície.
Passo 2
O Teorema de Stokes nos diz que:
Onde:
é a curva fechada.
é uma superfície que tem como sua fronteira.
é o rotacional de .
é o vetor de área da superfície.
Então, nossa primeira tarefa é encontrar o rotacional de , .
Passo 3
Calculando o rotacional :
Mas na verdade, os componentes de são:
Então, o rotacional é:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
:
Aplicando a derivada em relação a :
:
Derivando em relação a :
:
Usamos uma abordagem similar ao cálculo de .
:
Como não depende de , temos:
:
Derivando em relação a :
:
Derivando em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas no rotacional:
Notamos que os termos e são bastante complicados, mas vamos focar na componente , que já está simplificada:
Passo 6
Agora, precisamos escolher uma superfície que tenha como sua borda. Uma boa escolha é o disco no plano onde , já que está nessa interseção.
Para essa superfície, o vetor normal será na direção do eixo , ou seja, .
Então, a integral de superfície se reduz a:
Como no disco , pois é a interseção com o cilindro no plano , então .