Utilize o Teorema de Stokes para calcular ointC F cdot d r, em que
F(x, y, z)=lang<=-y, z ln (4+x^2+y^2), e^x^2+y^2 sen^2(x y)rang<=
e C é a curva de interseção do parabolóide z=9-x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=4, orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Resp.: 4 pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha F(x, y, z) = lang<= -y, z ln(4 + x^2 + y^2), e^x^2+y^2 sin^2(x y) rang<= usando o Teorema de Stokes. O campo vetorial é dado por:
A curva é a interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos precisar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha a uma integral de superfície.

Passo 2

O Teorema de Stokes nos diz que:
ointC F cdot d r = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Onde:
  • é a curva fechada.
  • é uma superfície que tem como sua fronteira.
  • é o rotacional de .
  • é o vetor de área da superfície.
Então, nossa primeira tarefa é encontrar o rotacional de , .

Passo 3

Calculando o rotacional nabla times F = | ccc i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z -Fx & -Fy & -Fz | :
F = lang<= -y, z ln(4 + x^2 + y^2), e^x^2+y^2 sin^2(x y) rang<=
Mas na verdade, os componentes de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z ) i - ( partial F3partial x - partial F1partial z ) j + ( partial F2partial x - partial F1partial y ) k são:
Então, o rotacional é:

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. F3 = e^x^2+y^2 sin^2(x y) :
partial F3partial y = e^x^2+y^2 cdot 2 sin(x y) cos(x y) cdot x + e^x^2+y^2 sin^2(x y) cdot 2 y
Aplicando a derivada em relação a F2 = z ln(4 + x^2 + y^2) :
partial F2partial z = ln(4 + x^2 + y^2)
  1. F1 = -y :
partial F1partial z = 0
Derivando em relação a F2 = z ln(4 + x^2 + y^2) :
partial F2partial x = z cdot 2x4 + x^2 + y^2
  1. F1 = -y :
    Usamos uma abordagem similar ao cálculo de partial F1partial y = -1 .
  2. :
Como não depende de , temos:
  1. :
Derivando em relação a :
  1. :
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas no rotacional:
nabla times F = ( Termos complicados ) i - ( Outro termo complicado ) j + ( z cdot 2x4 + x^2 + y^2 - (-1) ) k
Notamos que os termos nabla times F = [] i - [] j + ( 2z x4 + x^2 + y^2 + 1 ) k e são bastante complicados, mas vamos focar na componente , que já está simplificada:

Passo 6

Agora, precisamos escolher uma superfície integral duplaS (nabla times F) cdot k , dS = integral duplaS ( 2z x4 + x^2 + y^2 + 1 ) dS que tenha integral duplaS 1 , dS como sua borda. Uma boa escolha é o disco no plano onde , já que está nessa interseção.
Para essa superfície, o vetor normal será na direção do eixo , ou seja, .
Então, a integral de superfície se reduz a:
Como no disco , pois é a interseção com o cilindro no plano , então .
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 7

A integral Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi representa a área do disco de raio .
A área de um círculo é dada por:
Á

Resposta

Exercícios relacionados