Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a curva de interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima.
Resp.: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes. O campo vetorial é dado por:
A curva é a interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos precisar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha a uma integral de superfície.

Passo 2

O Teorema de Stokes nos diz que:
Onde:
  • é a curva fechada.
  • é uma superfície que tem como sua fronteira.
  • é o rotacional de .
  • é o vetor de área da superfície.
Então, nossa primeira tarefa é encontrar o rotacional de , .

Passo 3

Calculando o rotacional :
Mas na verdade, os componentes de são:
Então, o rotacional é:

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. :
Aplicando a derivada em relação a :
  1. :
Derivando em relação a :
  1. :
    Usamos uma abordagem similar ao cálculo de .
  2. :
Como não depende de , temos:
  1. :
Derivando em relação a :
  1. :
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas no rotacional:
Notamos que os termos e são bastante complicados, mas vamos focar na componente , que já está simplificada:

Passo 6

Agora, precisamos escolher uma superfície que tenha como sua borda. Uma boa escolha é o disco no plano onde , já que está nessa interseção.
Para essa superfície, o vetor normal será na direção do eixo , ou seja, .
Então, a integral de superfície se reduz a:
Como no disco , pois é a interseção com o cilindro no plano , então .
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 7

A integral representa a área do disco de raio .
A área de um círculo é dada por:
Á

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule , em que
e é a superfície , com , orientada com normal apontando para cima. Resp.: .
Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
(a) Encontre uma parametrização para .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular , em que
e é a superfície com com o vetor normal apontando para cima.
Resp.: .
Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior , orientada com o normal apontando para fora.
Resp.: .