Utilize o teste de comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
a)
(Sugestão: comparação no limite
.)
a)
(Sugestão: comparação no limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste de Comparação no Limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com uma série que a gente já conhece que converge, que no caso é
. Vamos precisar analisar o comportamento dos termos quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série:
. A série com a qual vamos comparar é
. O Teste de Comparação no Limite funciona assim: a gente calcula o limite de
quando
vai para o infinito.
Passo 3
Vamos calcular esse limite:
Agora, simplificando o numerador e o denominador:
Dividindo cada termo pelo maior grau de
, que é
:
Passo 4
O limite deu um número finito e positivo (1). Isso significa que as séries
e
têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência. Sabemos que
é uma série convergente (é uma p-série com
).
Resposta
Portanto, pela comparação pelo limite, a série
converge.
Exercícios relacionados
Se medirmos um comprimento, por exemplo, a incerteza da medição deve ser declarada em unidades de comprimento. Contudo, uma fonte de incerteza pode ser a variação da temperatura do ambiente. Embora a fonte dessa incerteza seja a temperatura, seu efeito se dará em termos de comprimento e, por isso, ela deve ser contabilizada em uma unidade de comprimento.
As contribuições de incerteza devem ser expressas nas mesmas unidades antes de elas serem combinadas.
Nesse caso, é conveniente trabalharmos em termos de incertezas relativas ou fracionárias, para simplificação dos cálculos. Como exemplo, podemos citar o cálculo da área A de um tapete retangular, através da multiplicação das suas dimensões largura e comprimento. A incerteza relativa ou fracionária da área do tapete pode ser calculada a partir das incertezas fracionárias da largura e do comprimento. Para um comprimento Ll com uma incerteza u(LT), a incerteza relativa é u(L1)/L1. Para uma largura L2, a incerteza relativa é u(L2)/L2. Dessa forma, a incerteza relativa
da área é dada pela equação 4:
Encontre os valores de
e
em cada item: