Utilize o teste de comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
a) sumn=1^infty n-2n^3-n^2+3
(Sugestão: comparação no limite com sumn=1^infty(1 / n^2).)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste de Comparação no Limite para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com uma série que a gente já conhece que converge, que no caso é . Vamos precisar analisar o comportamento dos termos quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série: . A série com a qual vamos comparar é . O Teste de Comparação no Limite funciona assim: a gente calcula o limite de quando vai para o infinito.

Passo 3

Vamos calcular esse limite:
limn to infty anbn = limn to infty n-2n^3-n^2+31n^2 = limn to infty (n-2) cdot n^2n^3-n^2+3
Agora, simplificando o numerador e o denominador:
limn to infty n^3 - 2n^2n^3 - n^2 + 3
Dividindo cada termo pelo maior grau de limn to infty 1 - 2n1 - 1n + 3n^3 = 1 - 01 - 0 + 0 = 1 , que é :

Passo 4

O limite deu um número finito e positivo (1). Isso significa que as séries e têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência. Sabemos que é uma série convergente (é uma p-série com ).

Resposta

Portanto, pela comparação pelo limite, a série converge.

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