Utilize o teste de comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
a)
(Sugestão: comparação no limite
.)
a)
(Sugestão: comparação no limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste de Comparação no Limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com uma série que a gente já conhece que converge, que no caso é
. Vamos precisar analisar o comportamento dos termos quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série:
. A série com a qual vamos comparar é
. O Teste de Comparação no Limite funciona assim: a gente calcula o limite de
quando
vai para o infinito.
Passo 3
Vamos calcular esse limite:
Agora, simplificando o numerador e o denominador:
Dividindo cada termo pelo maior grau de
, que é
:
Passo 4
O limite deu um número finito e positivo (1). Isso significa que as séries
e
têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência. Sabemos que
é uma série convergente (é uma p-série com
).
Resposta
Portanto, pela comparação pelo limite, a série
converge.