uumax =1-(2 yh)^2
onde h é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 15^circ C com velocidade máxima de 0,05 m / s e h=1 mm. Calcule a força sobre uma seção de 1 m^2 da placa inferior e dê o seu sentido.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas placas paralelas separadas por uma distância h = 1, mm. A água, a 15^circ C, está fluindo entre elas com uma velocidade máxima de umax = 0,05, m/s. Precisamos calcular a força exercida sobre uma área de 1, m^2 da placa inferior e indicar o sentido dessa força.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de fluxo laminar entre placas paralelas e viscosidade da água.

Passo 2

Vamos começar analisando o perfil de velocidade dado pela equação:
uumax = 1 - (2yh)^2
Isso significa que a velocidade do fluxo varia com a posição y entre as placas de acordo com uma parábola, atingindo sua máxima no meio ( y=0) e zero nas placas ( y = pm h2).

Passo 3

A força exercida pela água sobre a placa inferior está relacionada ao esforço de cisalhamento, que depende da viscosidade do fluido e do gradiente de velocidade na superfície da placa. A fórmula para o esforço de cisalhamento é:
tau = mu dudy
onde mu é a viscosidade da água e dudy é a derivada da velocidade em relação a y na superfície da placa.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da velocidade u em relação a y com base na equação fornecida:
u = umax [1 - (2yh)^2]
Derivando em relação a y:
dudy = umax [ -2 cdot 4yh^2 ] = -8 umax yh^2

Passo 5

Na superfície da placa inferior, que está localizada em y = -h2, substituímos y na derivada:
dudy|y=-h/2 = -8 umax (-h2)h^2 = 4 umaxh^2

Passo 6

Agora, calculamos o esforço de cisalhamento na superfície da placa inferior:
tau = mu cdot 4 umaxh^2 = 4 mu umaxh^2
O sinal positivo indica que a força está na direção oposta ao fluxo.

Passo 7

Para encontrar a força total sobre a placa inferior, multiplicamos o esforço de cisalhamento pela área da placa:
F = tau cdot A = 4 mu umaxh^2 cdot 1, m^2 = 4 mu umaxh^2

Passo 8

Vamos agora substituir os valores conhecidos na formulação:
  • mu (viscosidade da água a 15^circ C) = 1,14 times 10^-3, Pa cdot s
  • umax = 0,05, m/s
  • h = 1, mm = 0,001, m
Substituindo:
F = 4 times 1,14 times 10^-3, Pa cdot s times 0,05, m/s(0,001, m)^2 = 4 times 1,14 times 10^-3 times 0,051 times 10^-6, N

Passo 9

Realizando os cálculos:
F = 4 times 1,14 times 10^-3 times 0,051 times 10^-6 = 4 times 5,7 times 10^-51 times 10^-6 = 2,28 times 10^-41 times 10^-6 = 228, N

Resposta

A força exercida sobre a placa inferior é de 228, N, direcionada na direção oposta ao fluxo da água.

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