onde é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a com velocidade máxima de e . Calcule a força sobre uma seção de da placa inferior e dê o seu sentido.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas placas paralelas separadas por uma distância . A água, a , está fluindo entre elas com uma velocidade máxima de . Precisamos calcular a força exercida sobre uma área de da placa inferior e indicar o sentido dessa força.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de fluxo laminar entre placas paralelas e viscosidade da água.
Passo 2
Vamos começar analisando o perfil de velocidade dado pela equação:
Isso significa que a velocidade do fluxo varia com a posição entre as placas de acordo com uma parábola, atingindo sua máxima no meio () e zero nas placas ().
Passo 3
A força exercida pela água sobre a placa inferior está relacionada ao esforço de cisalhamento, que depende da viscosidade do fluido e do gradiente de velocidade na superfície da placa. A fórmula para o esforço de cisalhamento é:
onde é a viscosidade da água e é a derivada da velocidade em relação a na superfície da placa.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da velocidade em relação a com base na equação fornecida:
Derivando em relação a :
Passo 5
Na superfície da placa inferior, que está localizada em , substituímos na derivada:
Passo 6
Agora, calculamos o esforço de cisalhamento na superfície da placa inferior:
tau = mu cdot 4 umaxh^2 = 4 mu umaxh^2
O sinal positivo indica que a força está na direção oposta ao fluxo.
Passo 7
Para encontrar a força total sobre a placa inferior, multiplicamos o esforço de cisalhamento pela área da placa:
F = tau cdot A = 4 mu umaxh^2 cdot 1, m^2 = 4 mu umaxh^2
Passo 8
Vamos agora substituir os valores conhecidos na formulação:
mu (viscosidade da água a 15^circ C) = 1,14 times 10^-3, Pa cdot s
umax = 0,05, m/s
h = 1, mm = 0,001, m
Substituindo:
F = 4 times 1,14 times 10^-3, Pa cdot s times 0,05, m/s(0,001, m)^2 = 4 times 1,14 times 10^-3 times 0,051 times 10^-6, N
Passo 9
Realizando os cálculos:
F = 4 times 1,14 times 10^-3 times 0,051 times 10^-6 = 4 times 5,7 times 10^-51 times 10^-6 = 2,28 times 10^-41 times 10^-6 = 228, N
Resposta
A força exercida sobre a placa inferior é de 228, N, direcionada na direção oposta ao fluxo da água.