Uma v.a. Bernoulli tem parâmetro p in[0,1]. Calcule E(X), E(X^2) e var(X) e faça o gráfico dessas esperanças como função de p. Se uma v.a. assume apenas os valores possíveis 0 e 1, o que pode ser dito sobre sua esperança? E sobre sua variância?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória Bernoulli com parâmetro $ p $ que está entre 0 e 1. Precisamos calcular a esperança $ E(X) $, a segunda esperança $ E\left(X^{2}\right) $ e a variância $ \operatorname{var}(X) $ dessa variável. Além disso, vamos fazer um gráfico dessas esperanças em função de $ p $. Por fim, vamos discutir o que acontece com a esperança e a variância quando a variável aleatória só pode assumir os valores 0 e 1. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de esperança matemática, variância e como aplicar esses conceitos em variáveis Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança $ E(X) $. A esperança matemática, ou média, de uma variável aleatória é o valor médio que esperamos obter se repetirmos o experimento muitas vezes.
Para uma variável Bernoulli $ X $ com parâmetro $ p $, ela só pode assumir dois valores: 0 com probabilidade $ 1 - p $ e 1 com probabilidade $ p $.
A fórmula para a esperança é:
E(X)
Então, substituindo os valores:
X

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda esperança $ E\left(X^{2}\right) $. Isso significa que vamos calcular a média dos quadrados dos valores que $ X $ pode assumir.
Usando a mesma lógica:
E(X^2)
Substituindo:
X
Interessante! A segunda esperança também é igual a $ p $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância $ \operatorname{var}(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em relação à sua média.
A fórmula da variância é:
var(X)
Já sabemos que $ E(X) = p $ e $ E\left(X^{2}\right) = p $, então:
X

Passo 5

Vamos agora fazer o gráfico dessas três funções em relação a $ p $. No eixo horizontal teremos o valor de $ p $ variando de 0 a 1, e no eixo vertical, os valores de $ E(X) $, $ E\left(X^{2}\right) $ e $ \operatorname{var}(X) $.
  • $ E(X) = p $: é uma reta que passa pela origem com inclinação 1.
  • $ E\left(X^{2}\right) = p $: coincide com a linha de $ E(X) $.
  • $ \operatorname{var}(X) = p(1 - p) $: é uma parábola que atinge seu valor máximo em $ p = 0.5 $.
Gráfico das funções
Nota: Substitua o link pela imagem real do gráfico.

Passo 6

Finalmente, se uma variável aleatória só pode assumir os valores 0 e 1, como a Bernoulli, podemos dizer o seguinte:
  • Esperança: A esperança $ E(X) $ será igual a $ p $, que é a probabilidade de $ X $ ser 1. Isso faz sentido porque, em média, $ X $ será 1 com frequência $ p $.
  • Variância: A variância $ \operatorname{var}(X) $ será $ p(1 - p) $. Isso indica que a variância é máxima quando $ p = 0.5 $ (quando há maior incerteza) e diminui à medida que $ p $ se aproxima de 0 ou 1 (quando $ X $ tende a ser sempre 0 ou sempre 1).

Resposta

Calculamos que para uma variável Bernoulli com parâmetro $ p $:
  • A esperança $ E(X) = p $.
  • A segunda esperança $ E\left(X^{2}\right) = p $.
  • A variância $ \operatorname{var}(X) = p(1 - p) $.
Além disso, se uma variável aleatória assume apenas os valores 0 e 1, sua esperança é igual a $ p $, a probabilidade de assumir o valor 1, e sua variância é $ p(1 - p) $. Os gráficos dessas funções mostram $ E(X) $ e $ E\left(X^{2}\right) $ como linhas crescentes iguais a $ p $, e a variância como uma parábola que atinge o máximo em $ p = 0.5 $.

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