Dada a função abaixo, verificar para que valor de
pode ser considerada F.D.P. Calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma função $ f(x) $ definida por partes:
Queremos saber para qual valor de $ K $ essa função pode ser considerada uma Função de Densidade de Probabilidade (F.D.P.). Depois, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $ e a variância $ \operatorname{VAR}(X) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das F.D.P.
Passo 2
Primeiro, para que $ f(x) $ seja uma F.D.P., ela precisa satisfazer duas condições:
- Não negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
- Integral igual a 1: A integral de $ f(x) $ em todo o espaço deve ser igual a 1.
Nossa função já é não negativa, já que $ Kx^{2} \geq 0 $ para $ 0 \leq x \leq 2 $. Então, vamos focar na segunda condição.
Passo 3
Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 2 e igualar a 1:
Resolvendo a integral:
Igualando a 1:
Passo 4
Agora que encontramos $ K = \frac{3}{8} $, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $. A fórmula para $ E(X) $ é:
Como $ f(x) = 0 $ fora de 0 a 2, podemos simplificar:
Resolvendo a integral:
Passo 5
Para calcular a variância $ \operatorname{VAR}(X) $, precisamos primeiro calcular $ E(X^{2}) $:
Resolvendo a integral:
Agora, usamos a fórmula da variância:
Para subtrair, vamos achar um denominador comum:
Então,
Resposta
O valor de $ K $ para que $ f(x) $ seja uma Função de Densidade de Probabilidade é $ K = \frac{3}{8} $. O valor esperado $ E(X) $ é $ \frac{3}{2} $ e a variância $ \operatorname{VAR}(X) $ é $ \frac{3}{20} $.