Dada a função abaixo, verificar para que valor de K pode ser considerada F.D.P. Calcular E(X) e VAR(X).
f(x)=lll K & x^2 & se 0 <= x <= 2 0 & se & x<0 ou x>0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma função $ f(x) $ definida por partes:
f(x) á
Queremos saber para qual valor de $ K $ essa função pode ser considerada uma Função de Densidade de Probabilidade (F.D.P.). Depois, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $ e a variância $ \operatorname{VAR}(X) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das F.D.P.

Passo 2

Primeiro, para que $ f(x) $ seja uma F.D.P., ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
  2. Integral igual a 1: A integral de $ f(x) $ em todo o espaço deve ser igual a 1.
Nossa função já é não negativa, já que $ Kx^{2} \geq 0 $ para $ 0 \leq x \leq 2 $. Então, vamos focar na segunda condição.

Passo 3

Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 2 e igualar a 1:
f(x)
Resolvendo a integral:
integral0^2 Kx^2 , dx = 1
Igualando a 1:
K integral0^2 x^2 , dx = K [ x^33 ]0^2 = K ( 83 - 0 ) = 8K3

Passo 4

Agora que encontramos $ K = \frac{3}{8} $, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $. A fórmula para $ E(X) $ é:
K = 38
Como $ f(x) = 0 $ fora de 0 a 2, podemos simplificar:
E(X)
Resolvendo a integral:
E(X)

Passo 5

Para calcular a variância $ \operatorname{VAR}(X) $, precisamos primeiro calcular $ E(X^{2}) $:
VAR(X)
Resolvendo a integral:
E(X^2)
Agora, usamos a fórmula da variância:
E(X^2) = integral-infty^infty x^2 f(x) , dx = integral0^2 x^2 cdot 38x^2 , dx = 38 integral0^2 x^4 , dx
Para subtrair, vamos achar um denominador comum:
38 [ x^55 ]0^2 = 38 ( 325 - 0 ) = 38 cdot 325 = 9640 = 125
Então,
VAR(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 125 - ( 32 )^2 = 125 - 94

Resposta

O valor de $ K $ para que $ f(x) $ seja uma Função de Densidade de Probabilidade é $ K = \frac{3}{8} $. O valor esperado $ E(X) $ é $ \frac{3}{2} $ e a variância $ \operatorname{VAR}(X) $ é $ \frac{3}{20} $.

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