A variável aleatória contínua X tem f.d.p dada por:
f(x)=c 6(x-x^2) se 0 <= x <= 1 0 se x<0 ou x>1
Calcular P(mu-2 sigma ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) definida por:
X á
O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de $ X $ estar entre $ \mu - 2\sigma $ e $ \mu + 2\sigma $, ou seja, $ P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) $. Para isso, vamos calcular a média $ \mu $ e o desvio padrão $ \sigma $ da distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média $ \mu $ da variável aleatória $ X $. A fórmula para a média de uma variável contínua é:
mu
Como a f.d.p. é zero fora do intervalo [0, 1], a gente só precisa integrar de 0 a 1:
X

Passo 3

Vamos resolver a integral para encontrar $ \mu $:
mu
Integrando termo a termo:
mu = 6 integral0^1 x(x - x^2) , dx = 6 integral0^1 (x^2 - x^3) , dx
Então, a média $ \mu $ é $ \frac{1}{2} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ E[X^{2}] $ para encontrar a variância. A fórmula é:
E[X^2]
Novamente, como a f.d.p. é zero fora de [0, 1]:
E[X^2] = integral-infty^infty x^2 f(x) , dx

Passo 5

Resolvendo a integral para $ E[X^{2}] $:
E[X^2]
Então, $ E[X^{2}] = \frac{3}{10} $.

Passo 6

Com $ \mu $ e $ E[X^{2}] $ em mãos, podemos calcular a variância $ \sigma^{2} $:
mu

Passo 7

O desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada da variância:
sigma

Passo 8

Agora, queremos calcular $ P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) $, ou seja:
P(mu - 2sigma < X < mu + 2sigma)
Simplificando:
P(12 - 2 cdot 12raiz5 < X < 12 + 2 cdot 12raiz5)

Passo 9

Calculando os limites numéricos:
1raiz5 approx 0,4472
Então:
12 - 0,4472 approx 0,0528 12 + 0,4472 approx 0,9472
Portanto, queremos:
P(0,0528 < X < 0,9472)

Passo 10

Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a f.d.p $ f(x) $ de 0,0528 a 0,9472:
f(x)

Passo 11

Resolvendo a integral:
integral 6(x - x^2) , dx = 6 ( x^22 - x^33 )
Avaliando de 0,0528 a 0,9472:
6 [ ( (0,9472)^22 - (0,9472)^33 ) - ( (0,0528)^22 - (0,0528)^33 ) ]
Calculando os valores:
approx 6 [ ( 0,89622 - 0,84923 ) - ( 0,00282 - 0,00013 ) ] approx 6 [ (0,4481 - 0,2831) - (0,0014 - 0,0000) ] approx 6 [ 0,1650 - 0,0014 ] approx 6 cdot 0,1636 approx 0,9816

Resposta

A probabilidade $ P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) $ é aproximadamente 0,9816 ou 98,16%.

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