A variável aleatória contínua
tem f.d.p dada por:
Calcular
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) definida por:
O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de $ X $ estar entre $ \mu - 2\sigma $ e $ \mu + 2\sigma $, ou seja, $ P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) $. Para isso, vamos calcular a média $ \mu $ e o desvio padrão $ \sigma $ da distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média $ \mu $ da variável aleatória $ X $. A fórmula para a média de uma variável contínua é:
Como a f.d.p. é zero fora do intervalo [0, 1], a gente só precisa integrar de 0 a 1:
Passo 3
Vamos resolver a integral para encontrar $ \mu $:
Integrando termo a termo:
Então, a média $ \mu $ é $ \frac{1}{2} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ E[X^{2}] $ para encontrar a variância. A fórmula é:
Novamente, como a f.d.p. é zero fora de [0, 1]:
Passo 5
Resolvendo a integral para $ E[X^{2}] $:
Então, $ E[X^{2}] = \frac{3}{10} $.
Passo 6
Com $ \mu $ e $ E[X^{2}] $ em mãos, podemos calcular a variância $ \sigma^{2} $:
Passo 7
O desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada da variância:
Passo 8
Agora, queremos calcular $ P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) $, ou seja:
Simplificando:
Passo 9
Calculando os limites numéricos:
Então:
Portanto, queremos:
Passo 10
Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a f.d.p $ f(x) $ de 0,0528 a 0,9472:
Passo 11
Resolvendo a integral:
Avaliando de 0,0528 a 0,9472:
Calculando os valores:
Resposta
A probabilidade $ P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) $ é aproximadamente 0,9816 ou 98,16%.