Qual o valor de ‘a’ para que a função inversa de f(x) = 3x + a seja a função g(x) = x/3-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra descobrir o valor de ‘a’ na função  f(x) = 3x + a de forma que a função inversa dessa seja  g(x) = x3 - 1. Vamos usar conceitos de funções e suas inversas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função inversa. A função inversa de  f(x), chamada de  f^-1(x), “desfaz” o que  f(x) faz. Ou seja, se você aplicar  f em um número e depois aplicar  f^-1 naquele resultado, você volta ao número original.
Matematicamente, isso significa que:
f^-1(f(x)) = x

Passo 3

Para encontrar a função inversa de  f(x) = 3x + a, vamos seguir os passos para achar  f^-1(x):
  1. Substituímos  f(x) por  y:
y = 3x + a
  1. Trocamos  x e  y para começar a encontrar a inversa:
x = 3y + a
  1. Agora, resolvemos essa equação para  y:
x - a = 3y y = x - a3
Então, a função inversa de  f(x) é:
f^-1(x) = x - a3

Passo 4

Sabemos pelo enunciado que a função inversa de  f(x) é  g(x) = x3 - 1. Então, igualamos as duas expressões da inversa:
x - a3 = x3 - 1
Agora, vamos resolver para  a:
  1. Multiplicamos todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
x - a = x - 3
  1. Subtraímos  x de ambos os lados:
-a = -3
  1. Multiplicamos ambos os lados por -1 para isolar  a:
a = 3

Resposta

O valor de  a é 3.

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