Determinar o angulo entre as seguintes retas: R1: x=-2+t y= t z=3 -2t R2: X/2=Y+6/1=Z-1/1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de vetores direcionais e produto escalar. Precisamos identificar os vetores que indicam a direção de cada reta e, então, usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das retas $ R1 $ e $ R2 $.
Para a reta $ R1 $, as equações paramétricas são:
O vetor direcional $ \vec{u} $ é formado pelos coeficientes de $ t $:
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta $ R2 $. A equação dada é:
Podemos escrever as equações paramétricas igualando todas a um parâmetro $ k $:
O vetor direcional $ \vec{v} $ de $ R2 $ é:
Passo 4
Com os vetores direcionais $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $ identificados, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo $ \theta $ entre eles:
Primeiro, calculamos o produto escalar $ \vec{u} \cdot \vec{v} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular as normas (comprimentos) dos vetores $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo $ \theta $, tiramos o arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre as retas $ R1 $ e $ R2 $ é aproximadamente $ 80,4^\circ $.