Determinar o angulo entre as seguintes retas: R1: x=-2+t y= t z=3 -2t R2: X/2=Y+6/1=Z-1/1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de vetores direcionais e produto escalar. Precisamos identificar os vetores que indicam a direção de cada reta e, então, usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das retas $ R1 $ e $ R2 $.
Para a reta $ R1 $, as equações paramétricas são:
R1
O vetor direcional $ \vec{u} $ é formado pelos coeficientes de $ t $:
R2

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta $ R2 $. A equação dada é:
R2
Podemos escrever as equações paramétricas igualando todas a um parâmetro $ k $:
x2 = y + 61 = z - 11
O vetor direcional $ \vec{v} $ de $ R2 $ é:
k

Passo 4

Com os vetores direcionais $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $ identificados, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo $ \theta $ entre eles:
u
Primeiro, calculamos o produto escalar $ \vec{u} \cdot \vec{v} $:
v

Passo 5

Agora, vamos calcular as normas (comprimentos) dos vetores $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $:
u
v

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 1raiz6 cdot raiz6 = 16
Para encontrar o ângulo $ \theta $, tiramos o arco cosseno:
theta

Resposta

O ângulo entre as retas $ R1 $ e $ R2 $ é aproximadamente $ 80,4^\circ $.

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