- (valor: 2 pontos) A probabilidade de você encontrar uma figurinha premiada em um pacote é 0,02 e cada pacote contém no máximo uma figurinha premiada. Um colecionador realizou a compra de 300 pacotes.
(b) Dado que o número de pacotes com figurinhas premiadas, dentre os 300 comprados por este colecionador, é de no máximo 6, determine a probabilidade de ser exatamente 3.
(b) Dado que o número de pacotes com figurinhas premiadas, dentre os 300 comprados por este colecionador, é de no máximo 6, determine a probabilidade de ser exatamente 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade envolvendo figurinhas premiadas. A situação é a seguinte: a chance de encontrar uma figurinha premiada em um pacote é de 0,02 (ou seja, 2%). Cada pacote pode ter no máximo uma figurinha premiada. Um colecionador comprou 300 pacotes. A pergunta é: sabendo que no máximo 6 pacotes têm figurinhas premiadas, qual é a probabilidade de exatamente 3 desses pacotes serem premiados?
Para resolver isso, vamos usar conceitos da Distribuição Binomial, que é útil quando lidamos com eventos que têm exatamente dois resultados possíveis (como ganhar ou não ganhar uma figurinha premiada) e queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos em várias tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é definida por dois parâmetros:
- n: número de tentativas (no nosso caso, 300 pacotes).
- p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (no nosso caso, 0,02).
A função que nos dá a probabilidade de exatamente k sucessos (figurinhas premiadas) em n tentativas é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar $ P(X = 3 | X \leq 6) $, ou seja, a probabilidade de exatamente 3 pacotes serem premiados, dado que no máximo 6 pacotes são premiados. Isso é uma probabilidade condicional e pode ser calculada usando:
Então, precisamos calcular duas coisas:
- $ P(X = 3) $
- $ P(X \leq 6) $ que é a soma das probabilidades de 0 a 6 pacotes serem premiados.
Passo 4
Vamos calcular $ P(X = 3) $ usando a fórmula da distribuição binomial:
O coeficiente binomial
representa o número de maneiras de escolher 3 pacotes premiados dentre 300. Isso pode ser calculado como:
Passo 5
Para calcular $ P(X \leq 6) $, precisamos somar as probabilidades de $ X = 0 $ até $ X = 6 $:
Isso significa que vamos calcular $ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + ··· + P(X = 6) $ e somar todos esses valores.
Passo 6
Após calcular $ P(X = 3) $ e $ P(X \leq 6) $, a probabilidade condicional $ P(X = 3 | X \leq 6) $ será:
Isso nos dará a probabilidade de, entre os pacotes comprados, exatamente 3 serem premiados, sabendo que no máximo 6 pacotes têm prêmios.
Passo 7
Para simplificar os cálculos, podemos utilizar uma calculadora científica ou um software de estatística que já tem funções para distribuição binomial. Isso porque calcular manualmente pode ser bastante trabalhoso devido aos grandes números envolvidos nos coeficientes binomiais e potências.
Resposta
A probabilidade de exatamente 3 pacotes terem figurinhas premiadas, dado que no máximo 6 pacotes são premiados, é aproximadamente 0,227 ou 22,7%.