Os valores de k de modo que o valor mínimo da função f(x) = x² + (2k - 1)x + 1 seja -3 são: Gabarito: 5/2 e -3/2
Passo 1
Vamos resolver um exercício de função quadrática! A questão nos pede para encontrar os valores de $ k $ que fazem com que o valor mínimo da função $ f(x) = x^2 + (2k - 1)x + 1 $ seja igual a -3. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o valor mínimo de uma função quadrática.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma função quadrática tem a forma geral $ f(x) = ax^2 + bx + c $. O valor mínimo (ou máximo, se $ a < 0 $) dessa função ocorre no vértice da parábola. A coordenada $ x $ do vértice é dada por $ x_v = -\frac{b}{2a} $.
Passo 3
No nosso caso, a função é $ f(x) = x^2 + (2k - 1)x + 1 $. Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2k - 1 $ e $ c = 1 $. Vamos encontrar a coordenada $ x_v $ do vértice:
Passo 4
Para encontrar o valor mínimo da função, substituímos $ x_v $ na função $ f(x) $:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, calculemos $ \left(-\frac{2k - 1}{2}\right)^2 $:
Passo 6
Agora, calculamos $ (2k - 1)\left(-\frac{2k - 1}{2}\right) $:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de $ f(x_v) $:
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum, que é 4:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Queremos que esse valor seja igual a -3:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Passo 10
Agora, resolvemos a equação quadrática $ 4k^2 - 4k - 15 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 4 $, $ b = -4 $ e $ c = -15 $.
Passo 11
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 12
Agora, substituímos na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os valores de $ k $ que satisfazem a condição são $ \frac{5}{2} $ e $ -\frac{3}{2} $.