Os valores de k de modo que o valor mínimo da função f(x) = x² + (2k - 1)x + 1 seja -3 são: Gabarito: 5/2 e -3/2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de função quadrática! A questão nos pede para encontrar os valores de $ k $ que fazem com que o valor mínimo da função $ f(x) = x^2 + (2k - 1)x + 1 $ seja igual a -3. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o valor mínimo de uma função quadrática.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma função quadrática tem a forma geral $ f(x) = ax^2 + bx + c $. O valor mínimo (ou máximo, se $ a < 0 $) dessa função ocorre no vértice da parábola. A coordenada $ x $ do vértice é dada por $ x_v = -\frac{b}{2a} $.

Passo 3

No nosso caso, a função é $ f(x) = x^2 + (2k - 1)x + 1 $. Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2k - 1 $ e $ c = 1 $. Vamos encontrar a coordenada $ x_v $ do vértice:
f(x) = x^2 + (2k - 1)x + 1

Passo 4

Para encontrar o valor mínimo da função, substituímos $ x_v $ na função $ f(x) $:
xv
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculemos $ \left(-\frac{2k - 1}{2}\right)^2 $:
(-2k - 12)^2

Passo 6

Agora, calculamos $ (2k - 1)\left(-\frac{2k - 1}{2}\right) $:
(2k - 1)(-2k - 12)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de $ f(x_v) $:
f(xv)
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum, que é 4:
f(xv) = 4k^2 - 4k + 14 - 4k^2 - 4k + 12 + 1

Passo 8

Simplificando a expressão:
f(xv) = -4k^2 + 4k + 34
Queremos que esse valor seja igual a -3:
-4k^2 + 4k + 34 = -3

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
-4k^2 + 4k + 3 = -12
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:
-4k^2 + 4k + 15 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
4k^2 - 4k - 15 = 0

Passo 10

Agora, resolvemos a equação quadrática $ 4k^2 - 4k - 15 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
4k^2 - 4k - 15 = 0
Onde $ a = 4 $, $ b = -4 $ e $ c = -15 $.

Passo 11

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De

Passo 12

Agora, substituímos na fórmula de Bhaskara:
k = -(-4) pm raiz2562 times 4 = 4 pm 168
Isso nos dá duas soluções:
k = 4 + 168 = 208 = 52
k = 4 - 168 = -128 = -32

Resposta

Os valores de $ k $ que satisfazem a condição são $ \frac{5}{2} $ e $ -\frac{3}{2} $.

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