Os valores reais de x que satisfazem a inequação: (2-x) (x+1) / x-1 menor igual 0
a. -1 ≤x<1 ou x ≥2
b. x ≤ -1 ou 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação (2 - x)(x + 1)x - 1 <= 0. Esse tipo de problema está na área de funções racionais e inequações. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde o numerador ou o denominador são iguais a zero e analisar os sinais da expressão em cada intervalo formado por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de x que tornam o numerador (2 - x)(x + 1) igual a zero:
2 - x = 0 implies x = 2
x + 1 = 0 implies x = -1
Então, os zeros do numerador são x = 2 e x = -1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de x que torna o denominador x - 1 igual a zero:
x - 1 = 0 implies x = 1
Esse ponto x = 1 é onde a função está indefinida, pois não podemos dividir por zero.

Passo 4

Com esses pontos críticos ( x = -1, x = 1, e x = 2), vamos dividir a linha dos números reais em intervalos para analisar os sinais da expressão:
  1. x < -1
  2. -1 < x < 1
  3. 1 < x < 2
  4. x > 2

Passo 5

Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e verificar o sinal da expressão (2 - x)(x + 1)x - 1:
  1. Para x < -1, por exemplo, x = -2:
(2 - (-2))( -2 + 1)-2 - 1 = 4 times (-1)-3 = -4-3 = positivo
  1. Para -1 < x < 1, por exemplo, x = 0:
(2 - 0)(0 + 1)0 - 1 = 2 times 1-1 = 2-1 = negativo
  1. Para 1 < x < 2, por exemplo, x = 1.5:
(2 - 1.5)(1.5 + 1)1.5 - 1 = 0.5 times 2.50.5 = 1.250.5 = positivo
  1. Para x > 2, por exemplo, x = 3:
(2 - 3)(3 + 1)3 - 1 = (-1) times 42 = -42 = negativo

Passo 6

Agora, vamos considerar onde a expressão é menor ou igual a zero ( <= 0):
  • Intervalo -1 < x < 1: negativo
  • Intervalo x > 2: negativo
  • Nos pontos x = -1 e x = 2, a expressão é igual a zero.
No ponto x = 1, a função não está definida, então não incluímos esse valor.

Resposta

A resposta correta é a letra a. -1 <= x < 1 ou x >= 2

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