Para quais valores reais de X as expressões √(X²-9) e √(X+11) apresentam o mesmo valor?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos os valores reais de $ X $ para os quais as expressões $ \sqrt{X^2 - 9} $ e $ \sqrt{X + 11} $ são iguais. Vamos usar conceitos de álgebra e propriedades das raízes quadradas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que ambas as expressões estejam definidas para os valores de $ X $ que vamos encontrar. Isso significa que o que está dentro das raízes quadradas precisa ser maior ou igual a zero, porque não podemos tirar raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais.
Para $ \sqrt{X^2 - 9} $:
Isso significa que $ X $ pode ser maior ou igual a 3 ou menor ou igual a -3.
Para $ \sqrt{X + 11} $:
Então, $ X $ precisa ser maior ou igual a -11.
Passo 3
Agora, queremos que as duas expressões sejam iguais:
Como as duas barras são raízes quadradas e sabem ser não negativas, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 4
Vamos resolver a equação resultante:
Primeiro, trazemos todos os termos para um lado da equação para igualar a zero:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ X^2 - X - 20 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -20 $.
Calculando o discriminante:
Agora, aplicando na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Precisamos verificar se essas soluções atendem às condições iniciais que impusemos para as raízes quadradas.
Para $ X = 5 $:
- Verificando $ \sqrt{5^2 - 9} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $
- Verificando $ \sqrt{5 + 11} = \sqrt{16} = 4 $
- Ambas as expressões são iguais e $ 5 \geq 3 $ e $ 5 \geq -11 $, então está válido.
Para $ X = -4 $:
- Verificando $ \sqrt{(-4)^2 - 9} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} $
- Verificando $ \sqrt{-4 + 11} = \sqrt{7} $
- Ambas as expressões são iguais e $ |-4| = 4 \geq 3 $ e $ -4 \geq -11 $, então também está válido.
Resposta
Os valores reais de $ X $ que satisfazem a equação $ \sqrt{X^2 - 9} = \sqrt{X + 11} $ são $ X = 5 $ e $ X = -4 $.